As funções São linearmente independentes? Verifique usando o Wronskiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A pergunta é: essas funções são linearmente independentes? Para descobrir isso, vamos usar uma ferramenta chamada Wronskiano, que faz parte do estudo de equações diferenciais e análise de funções. Vamos precisar calcular o Wronskiano dessas três funções e ver se ele é diferente de zero.

Passo 2

Antes de mais nada, o que é o Wronskiano? É uma maneira de verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para três funções, a gente monta uma matriz onde cada linha é uma função e suas primeiras duas derivadas. Se o determinante dessa matriz (o Wronskiano) for diferente de zero em algum ponto, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 3

Vamos montar a matriz do Wronskiano com as funções , e :
Primeiro, vamos encontrar as derivadas:
    • (usando a regra do produto)
Agora, vamos montar a matriz:

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz, vamos fatorar de cada coluna, já que ele está presente em todas as entradas:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz simplificada:
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores:
Calculando cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
Expandindo:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:
Agora, substituindo de volta:
Então, o determinante da matriz simplificada é 2.

Passo 5

Lembrando que o Wronskiano completo é:
Como nunca é zero para qualquer valor de , isso significa que nunca é zero.

Resposta

Como o Wronskiano nunca é zero, concluímos que as funções , e são linearmente independentes.

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