Resolva o problema de valor inicial
. Em que
, e
.
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que é um tipo de equação que envolve a segunda derivada de uma função desconhecida, neste caso,
. A equação dada é
, e temos condições iniciais
e
. Vamos resolver essa equação passo a passo usando métodos de resolução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 4
Como as raízes são complexas,
com
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, usamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Agora, aplicamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: