Resolva o problema de valor inicial y'' + 2 y' + 17 y = 0. Em que y(0) = 1, e y'(0) = -1.

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que é um tipo de equação que envolve a segunda derivada de uma função desconhecida, neste caso, . A equação dada é , e temos condições iniciais e . Vamos resolver essa equação passo a passo usando métodos de resolução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 4

Como as raízes são complexas, com e , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, usamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, derivamos para encontrar :
Usando a regra do produto:
Agora, aplicamos :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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