(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de limites e, se necessário, aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
por 0 na expressão.
Como obtivemos uma forma indeterminada
, podemos usar a regra de L’Hôpital para resolver esse limite.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se as funções
e
formarem um conjunto fundamental de soluções de
, mostre que entre dois zeros consecutivos de
existe um, e apenas um, zero de
. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções
e
da equação
. Sugestão: Suponha que
e
são dois zeros de
entre os quais não existe zero de
. Aplique o teorema de Rolle a
para chegar a uma contradição.
(j)
Inverter a ordem de integração.
b)
b)
®