(l) lim x 0 e^5 x-13 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de limites e, se necessário, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos e^5 cdot 0 - 13 cdot 0 = 1 - 10 = 00 por 0 na expressão.
Como obtivemos uma forma indeterminada , podemos usar a regra de L’Hôpital para resolver esse limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Derivada do numerador f'(x) = 5 e^5x :
    g'(x) = 3
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx 0 e^5 x-13 x = limx 0 5 e^5x3 = 5 cdot e^03 = 5 cdot 13 = 53

Resposta

O limite é .

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