(l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de limites e, se necessário, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos por 0 na expressão.
Como obtivemos uma forma indeterminada , podemos usar a regra de L’Hôpital para resolver esse limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Se as funções e formarem um conjunto fundamental de soluções de , mostre que entre dois zeros consecutivos de existe um, e apenas um, zero de . Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções e da equação . Sugestão: Suponha que e são dois zeros de entre os quais não existe zero de . Aplique o teorema de Rolle a para chegar a uma contradição.
(j)
Inverter a ordem de integração.
b)
®