É fundamental compreender a decomposição do polinômio presente no denominador ao resolver integrais que envolvem frações parciais. Essa técnica permite simplificar a integração de funções racionais complexas, dividindo-as em partes menores que podem ser integradas mais facilmente. Ao identificar e decompor o denominador em frações parciais, podemos aplicar métodos eficazes para encontrar a integral total da função, simplificando o processo de cálculo e obtendo resultados mais precisos. Desta forma, seja a integral a seguir: f __3x+2__dx (x-2)²(x+1) determine:
a) Como o denominador já está fatorado, escreva a função racional como uma soma de frações parciais, onde cada fração tem um denominador que é um dos fatores irreduzíveis do denominador original.
b) Determine as constantes desconhecidas em cada fração parcial determinada no “item a)”.
c) Depois de determinar as constantes no “item b)”, integre cada fração parcial e determine o resultado para a integral completa. Obs.: como esta questão é dissertativa, é imprescindível apresentar uma justificativa sólida e desenvolver completamente o raciocínio ao longo de todo o processo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que você precisa fazer aqui. A questão pede para resolver a integral de uma função racional usando decomposição em frações parciais. Isso envolve três partes:
a) Escrever a função original como uma soma de frações menores.
b) Encontrar as constantes desconhecidas nessas frações.
c) Integrar cada fração resultante e somar tudo para obter a integral completa.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e técnicas de integração específicas para frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar:
integral 3x + 2(x - 2)^2 (x + 1) , dx
O denominador já está fatorado em (x - 2)^2 (x + 1), e os fatores são $ (x - 2) $ com multiplicidade 2 e $ (x + 1) $.

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Como temos um fator quadrático (x - 2)^2 e um fator linear (x + 1), a decomposição será:
3x + 2(x - 2)^2 (x + 1) = Ax - 2 + B(x - 2)^2 + Cx + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar as constantes A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 2)^2 (x + 1):
3x + 2 = A (x - 2)(x + 1) + B (x + 1) + C (x - 2)^2
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão para resolver para as constantes.

Passo 5

Expandindo cada termo:
A (x - 2)(x + 1) = A (x^2 - x - 2)
B (x + 1) = B x + B
C (x - 2)^2 = C (x^2 - 4x + 4)
Substituindo de volta na equação:
3x + 2 = A x^2 - A x - 2A + B x + B + C x^2 - 4C x + 4C

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
3x + 2 = (A + C) x^2 + (-A + B - 4C) x + (-2A + B + 4C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para x^2:
A + C = 0
Para x:
-A + B - 4C = 3
Para o termo constante:
-2A + B + 4C = 2

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
A + C = 0 -A + B - 4C = 3 -2A + B + 4C = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B e C.

Passo 8

Da primeira equação, podemos expressar A em termos de C:
A = -C
Substituindo A = -C na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
-(-C) + B - 4C = 3 Rightarrow C + B - 4C = 3 Rightarrow -3C + B = 3
Terceira equação:
-2(-C) + B + 4C = 2 Rightarrow 2C + B + 4C = 2 Rightarrow 6C + B = 2

Passo 9

Agora temos:
-3C + B = 3 6C + B = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(6C + B) - (-3C + B) = 2 - 3 Rightarrow 9C = -1 Rightarrow C = -19
Substituindo C = -19 na primeira equação:
-3(-19) + B = 3 Rightarrow 13 + B = 3 Rightarrow B = 3 - 13 = 83
E lembrando que A = -C:
A = -(-19) = 19

Passo 10

Agora que encontramos A = 19, B = 83 e C = -19, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
3x + 2(x - 2)^2 (x + 1) = 19x - 2 + 83(x - 2)^2 + -19x + 1
Simplificando:
3x + 2(x - 2)^2 (x + 1) = 19(x - 2) + 83(x - 2)^2 - 19(x + 1)

Passo 11

Agora, vamos integrar cada uma dessas frações separadamente:
  1. integral 19(x - 2) , dx = 19 ln|x - 2| + C1
  2. integral 83(x - 2)^2 , dx = 83 cdot ( -1x - 2 ) + C2 = -83(x - 2) + C2
  3. integral -19(x + 1) , dx = -19 ln|x + 1| + C3

Passo 12

Somando todas as integrais e combinando as constantes:
integral 3x + 2(x - 2)^2 (x + 1) , dx = 19 ln|x - 2| - 83(x - 2) - 19 ln|x + 1| + C
onde C = C1 + C2 + C3 é a constante de integração geral.

Resposta

A integral da função dada é:
boxed19 ln|x - 2| - 83(x - 2) - 19 ln|x + 1| + C
onde C é a constante de integração.

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