O fundo de um copo com água destilada é totalmente preenchido por sal (NaCl), com quantidade que mantém a concentração de NaCl junto ao fundo constante e igual à máxima (solubilidade), que é 360 kg/m³. Após 4 horas, qual será a concentração do sal a 1 cm acima do depósito no fundo, em kg/m³?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um copo cheio de água destilada, e o fundo está completamente cheio de sal (NaCl) com uma concentração máxima de 360 kg/m³, que é a solubilidade do sal na água. Queremos descobrir qual será a concentração de sal a 1 cm acima desse depósito após 4 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, que é o movimento das partículas de uma região de maior concentração para uma de menor concentração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o sal vai se dissolver na água ao longo do tempo. A taxa com que isso acontece depende de dois fatores principais: a distância da posição em que queremos medir a concentração (neste caso, 1 cm) e o tempo que o processo de dissolução leva (4 horas). Para calcular isso, usamos a Lei da Difusão de Fick, que nos ajuda a determinar como a concentração varia com o tempo e a distância.
Passo 3
A fórmula da Lei de Fick para esse tipo de situação (difusão em uma dimensão no estado não estacionário) é:
Onde:
- $ c(x, t) $ é a concentração no ponto $ x $ após o tempo $ t $.
- $ c_0 $ é a concentração inicial no fundo, que é 360 kg/m³.
- $ erfc $ é a função complementar do erro.
- $ D $ é o coeficiente de difusão do sal na água. Para o NaCl na água, $ D \approx 1,6 \times 10^{-9} $ m²/s.
- $ x $ é a distância acima do depósito, que é 1 cm ou 0,01 m.
- $ t $ é o tempo em segundos. Como são 4 horas, $ t = 4 \times 3600 = 14400 $ segundos.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, calculamos $ 2\sqrt{D t} $:
Agora, calculamos a razão $ \frac{x}{2\sqrt{D t}} $:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor da função complementar do erro para $ 1,0417 $. Usando tabelas ou uma calculadora:
Passo 6
Agora, multiplicamos esse valor pela concentração inicial:
Resposta
Após 4 horas, a concentração de sal a 1 cm acima do depósito no fundo será aproximadamente 53,3 kg/m³.