Identificar as afirmações verdadeiras:
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
é
é

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para identificar quais das afirmações de a) a e) são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de topologia, como conjuntos abertos, bolas abertas e conexidade. Vamos analisar cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Afirmação a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
Primeiro, vamos lembrar o que é uma bola aberta. Em geometria, uma bola aberta em é o conjunto de todos os pontos que estão a uma certa distância (o raio) de um ponto central, sem incluir a borda.
Agora, se unirmos várias bolas abertas, será que o resultado também é uma única bola aberta? A resposta é não necessariamente. Por exemplo, considere duas bolas abertas que não se sobrepõem; a união delas forma um conjunto com duas “ilhas” separadas, que não é uma única bola aberta. Portanto, a união de bolas abertas não é necessariamente uma bola aberta.

Passo 3

Afirmação b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
Vamos novamente considerar o que é um conjunto aberto: um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente contida no conjunto.
Se unirmos bolas abertas, cada ponto na união pertence a pelo menos uma dessas bolas abertas, garantindo que ao redor de cada ponto exista uma bola aberta dentro da união. Assim, a união de qualquer número de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. Portanto, a afirmação b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois subconjuntos abertos não vazios e disjuntos. Vamos pensar em duas bolas abertas que não se tocam; a união delas forma um conjunto que pode ser separado em duas partes distintas, o que significa que não é conexo.
Porém, se as bolas abertas se sobrepõem de alguma forma, a união pode ser conexa. Mas, de maneira geral, a união de bolas abertas não é necessariamente um conjunto conexo. Portanto, a afirmação c) é falsa.

Passo 5

Afirmação d) O conjunto é conexo.
Vamos analisar o conjunto . A inequação pode ser reescrita completando os quadrados:
Isso representa o exterior de uma bola aberta com centro em e raio . O exterior de uma bola aberta em é um conjunto conexo porque qualquer dois pontos no exterior podem ser conectados por um caminho que não entra na bola. Portanto, o conjunto é conexo, e a afirmação d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmação e) O conjunto é aberto.
Vamos reescrever a inequação: , o que implica . Esse conjunto consiste em duas regiões: uma onde e outra onde .
Para verificar se é aberto, precisamos ver se para cada ponto em existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente dentro de . De fato, como a desigualdade é estrita ( ), há sempre um espaço ao redor de cada ponto que não toca a linha . Portanto, é um conjunto aberto, e a afirmação e) é verdadeira.

Resposta

As afirmações b), d) e e) são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Prove que . E que .
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
Normalmente, a incerteza expandida é calculada para , o que significa uma probabilidade de abrangência de 95,4 % (considerando que a incerteza-padrão combinada siga uma distribuição normal de probabilidade). Se k= 3, considerando uma distribuição normal, a probabilidade de abrangência é de 99,7 %.
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em ou , determinando, em caso positivo, o centro e o raio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)