Identificar as afirmações verdadeiras:
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para identificar quais das afirmações de a) a e) são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de topologia, como conjuntos abertos, bolas abertas e conexidade. Vamos analisar cada afirmação passo a passo.
Passo 2
Afirmação a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
Primeiro, vamos lembrar o que é uma bola aberta. Em geometria, uma bola aberta em
é o conjunto de todos os pontos que estão a uma certa distância (o raio) de um ponto central, sem incluir a borda.
Agora, se unirmos várias bolas abertas, será que o resultado também é uma única bola aberta? A resposta é não necessariamente. Por exemplo, considere duas bolas abertas que não se sobrepõem; a união delas forma um conjunto com duas “ilhas” separadas, que não é uma única bola aberta. Portanto, a união de bolas abertas não é necessariamente uma bola aberta.
Passo 3
Afirmação b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
Vamos novamente considerar o que é um conjunto aberto: um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente contida no conjunto.
Se unirmos bolas abertas, cada ponto na união pertence a pelo menos uma dessas bolas abertas, garantindo que ao redor de cada ponto exista uma bola aberta dentro da união. Assim, a união de qualquer número de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. Portanto, a afirmação b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois subconjuntos abertos não vazios e disjuntos. Vamos pensar em duas bolas abertas que não se tocam; a união delas forma um conjunto que pode ser separado em duas partes distintas, o que significa que não é conexo.
Porém, se as bolas abertas se sobrepõem de alguma forma, a união pode ser conexa. Mas, de maneira geral, a união de bolas abertas não é necessariamente um conjunto conexo. Portanto, a afirmação c) é falsa.
Passo 5
Afirmação d) O conjunto
é conexo.
Vamos analisar o conjunto
. A inequação pode ser reescrita completando os quadrados:
Isso representa o exterior de uma bola aberta com centro em
e raio
. O exterior de uma bola aberta em
é um conjunto conexo porque qualquer dois pontos no exterior podem ser conectados por um caminho que não entra na bola. Portanto, o conjunto
é conexo, e a afirmação d) é verdadeira.
Passo 6
Afirmação e) O conjunto
é aberto.
Vamos reescrever a inequação:
, o que implica
. Esse conjunto consiste em duas regiões: uma onde
e outra onde
.
Para verificar se
é aberto, precisamos ver se para cada ponto em
existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente dentro de
. De fato, como a desigualdade é estrita (
), há sempre um espaço ao redor de cada ponto que não toca a linha
. Portanto,
é um conjunto aberto, e a afirmação e) é verdadeira.
Resposta
As afirmações b), d) e e) são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Prove que
. E que
.
(g) ( ) Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
Normalmente, a incerteza expandida é calculada para
, o que significa uma probabilidade de abrangência de 95,4 % (considerando que a incerteza-padrão combinada siga uma distribuição normal de probabilidade). Se k= 3, considerando uma distribuição normal, a probabilidade de abrangência é de 99,7 %.
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em
ou
, determinando, em caso positivo, o centro e o raio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)