Prove que
. E que
.
Passo 1
Vamos resolver dois limites envolvendo raízes: primeiro, mostrar que
, e segundo, provar que
para qualquer
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Começamos com o primeiro limite:
. Para facilitar a resolução, vamos reescrever a raiz como uma potência:
Passo 3
Para lidar com potências envolvendo limites, é útil usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados:
Passo 4
Agora, analisamos o limite de
conforme
tende ao infinito:
Sabemos que, à medida que
cresce,
cresce, mas mais lentamente que
. Portanto, o limite tende a zero:
Passo 5
Voltando ao nosso logaritmo, já que
tende a zero, podemos concluir que:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo limite:
, onde
. Semelhante ao que fizemos anteriormente, aplicamos o logaritmo natural:
Passo 7
Examinamos o limite de
conforme
tende ao infinito. Como
é uma constante e
cresce sem limite, o termo
tende a zero:
Passo 8
Revertendo o logaritmo, temos:
Assim, concluímos que:
Resposta
Portanto, ambos os limites são iguais a 1:
Exercícios relacionados
(g) ( ) Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
Como vimos, a probabilidade de abrangência para a incerteza-padrão combinada é de um desvio-padrão. Contudo, pode ser que queiramos ou que necessitemos declarar a incerteza para outra probabilidade de abrangência. Essa mudança de intervalo de abrangência pode ser feita utilizando o fator de abrangência k. Multiplicar a incerteza-padrão combinada uc por um fator de abrangência
resulta no que chamamos de incerteza expandida
, isto é:
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
Normalmente, a incerteza expandida é calculada para
, o que significa uma probabilidade de abrangência de 95,4 % (considerando que a incerteza-padrão combinada siga uma distribuição normal de probabilidade). Se k= 3, considerando uma distribuição normal, a probabilidade de abrangência é de 99,7 %.