Prove que lim n infty raiz[n]n=1. E que lim n infty x^1 / n=1,(x>0).

Passo 1

Vamos resolver dois limites envolvendo raízes: primeiro, mostrar que lim n infty raiz[n]n=1, e segundo, provar que lim n infty x^1 / n=1 para qualquer x > 0. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Começamos com o primeiro limite: lim n infty raiz[n]n. Para facilitar a resolução, vamos reescrever a raiz como uma potência:
raiz[n]n = n^1/n

Passo 3

Para lidar com potências envolvendo limites, é útil usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados:
ln(n^1/n) = ln nn

Passo 4

Agora, analisamos o limite de ln nn conforme n tende ao infinito:
limn to infty ln nn
Sabemos que, à medida que n cresce, ln n cresce, mas mais lentamente que n. Portanto, o limite tende a zero:
limn to infty ln nn = 0

Passo 5

Voltando ao nosso logaritmo, já que ln(n^1/n) tende a zero, podemos concluir que:
n^1/n = e^ln(n^1/n) = e^0 = 1
Portanto:
lim n infty raiz[n]n = 1

Passo 6

Agora, vamos para o segundo limite: lim n infty x^1 / n, onde x > 0. Semelhante ao que fizemos anteriormente, aplicamos o logaritmo natural:
ln(x^1/n) = ln xn

Passo 7

Examinamos o limite de ln xn conforme n tende ao infinito. Como x é uma constante e n cresce sem limite, o termo ln xn tende a zero:
limn to infty ln xn = 0

Passo 8

Revertendo o logaritmo, temos:
x^1/n = e^ln(x^1/n) = e^0 = 1
Assim, concluímos que:
lim n infty x^1 / n = 1

Resposta

Portanto, ambos os limites são iguais a 1:
lim n infty raiz[n]n=1 e lim n infty x^1 / n=1, para todo x > 0

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