Prove que . E que .

Passo 1

Vamos resolver dois limites envolvendo raízes: primeiro, mostrar que , e segundo, provar que para qualquer . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Começamos com o primeiro limite: . Para facilitar a resolução, vamos reescrever a raiz como uma potência:

Passo 3

Para lidar com potências envolvendo limites, é útil usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados:

Passo 4

Agora, analisamos o limite de conforme tende ao infinito:
Sabemos que, à medida que cresce, cresce, mas mais lentamente que . Portanto, o limite tende a zero:

Passo 5

Voltando ao nosso logaritmo, já que tende a zero, podemos concluir que:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos para o segundo limite: , onde . Semelhante ao que fizemos anteriormente, aplicamos o logaritmo natural:

Passo 7

Examinamos o limite de conforme tende ao infinito. Como é uma constante e cresce sem limite, o termo tende a zero:

Passo 8

Revertendo o logaritmo, temos:
Assim, concluímos que:

Resposta

Portanto, ambos os limites são iguais a 1:

Exercícios relacionados

(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
Como vimos, a probabilidade de abrangência para a incerteza-padrão combinada é de um desvio-padrão. Contudo, pode ser que queiramos ou que necessitemos declarar a incerteza para outra probabilidade de abrangência. Essa mudança de intervalo de abrangência pode ser feita utilizando o fator de abrangência k. Multiplicar a incerteza-padrão combinada uc por um fator de abrangência resulta no que chamamos de incerteza expandida , isto é:
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) A união de bolas abertas é uma bola aberta.
b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
d) O conjunto
é
é
Normalmente, a incerteza expandida é calculada para , o que significa uma probabilidade de abrangência de 95,4 % (considerando que a incerteza-padrão combinada siga uma distribuição normal de probabilidade). Se k= 3, considerando uma distribuição normal, a probabilidade de abrangência é de 99,7 %.