Prove que
. E que
.
Passo 1
Vamos resolver dois limites envolvendo raízes: primeiro, mostrar que
, e segundo, provar que
para qualquer
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Começamos com o primeiro limite:
. Para facilitar a resolução, vamos reescrever a raiz como uma potência:
Passo 3
Para lidar com potências envolvendo limites, é útil usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados:
Passo 4
Agora, analisamos o limite de
conforme
tende ao infinito:
Sabemos que, à medida que
cresce,
cresce, mas mais lentamente que
. Portanto, o limite tende a zero:
Passo 5
Voltando ao nosso logaritmo, já que
tende a zero, podemos concluir que:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo limite:
, onde
. Semelhante ao que fizemos anteriormente, aplicamos o logaritmo natural:
Passo 7
Examinamos o limite de
conforme
tende ao infinito. Como
é uma constante e
cresce sem limite, o termo
tende a zero:
Passo 8
Revertendo o logaritmo, temos:
Assim, concluímos que:
Resposta
Portanto, ambos os limites são iguais a 1: