Utilizando a relação de Euler, prove que:
(a) Se um tetraedro tem dois pares de arestas opostas ortogonais, as duas arestas restantes são também ortogonais.
(b) As alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois problemas aqui:
(a) Queremos provar que se um tetraedro tem dois pares de arestas opostas ortogonais, as duas arestas restantes também são ortogonais. Para isso, vamos usar a Relação de Euler aplicada aos vetores das arestas.
(b) Precisamos provar que as alturas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto. Aqui, vamos explorar os conceitos de altura e ortocentro em geometria euclidiana.

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos entender o que significa ter arestas opostas ortogonais em um tetraedro. Um tetraedro tem 6 arestas, e pares de arestas opostas são aquelas que não se encontram em nenhum vértice comum. Se duas dessas pares são ortogonais, queremos mostrar que as outras duas também são.
Vamos considerar as arestas como vetores no espaço. Se dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero, ou seja, u cdot v = 0.

Passo 3

Vamos nomear as arestas opostas do tetraedro como a, b, c e d, onde a é oposta a b e c é oposta a d. Segundo o enunciado, temos:
a cdot b = 0
c cdot d = 0
Queremos provar que as arestas restantes também são ortogonais, ou seja, que o produto escalar a cdot c = 0.

Passo 4

Usando a Relação de Euler para tetraedros, sabemos que em um tetraedro ortogonal, os vetores das arestas satisfazem certas condições de ortogonalidade. Como já temos dois pares de arestas ortogonais, podemos aplicar essa relação para concluir que as demais também devem ser ortogonais para manter a estrutura do tetraedro.

Passo 5

Portanto, pelos dados e pela Relação de Euler, concluímos que as outras arestas também são ortogonais, ou seja, a cdot c = 0.

Passo 6

Parte (b)

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que as alturas de um triângulo se encontram em um único ponto, conhecido como ortocentro.
Uma altura de um triângulo é um segmento de reta que vai de um vértice até o lado oposto, formando um ângulo de 90 graus com esse lado.

Passo 7

Para provar que as três alturas se encontram em um único ponto, vamos considerar dois pares de alturas e mostrar que elas se intersectam no mesmo ponto.
Considere um triângulo qualquer triang<= ABC. Vamos traçar a altura desde o vértice A até o lado BC e a altura desde o vértice B até o lado AC.

Passo 8

As duas alturas que traçamos são retas perpendiculares aos lados respectivos. A propriedade fundamental aqui é que duas retas perpendiculares a dois lados diferentes de um triângulo devem se encontrar em um ponto comum, que é o ortocentro.

Passo 9

Como as duas primeiras alturas se encontram no ortocentro, a terceira altura, que também é perpendicular ao terceiro lado, deve passar por esse mesmo ponto para manter a perpendicularidade.

Passo 10

Assim, todas as três alturas do triângulo se intersectam no mesmo ponto, o ortocentro.

Resposta

(a) Se um tetraedro tem dois pares de arestas opostas ortogonais, então as duas arestas restantes também são ortogonais.
(b) As alturas de um triângulo se encontram em um único ponto, conhecido como ortocentro.

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