Para G=Z times Z e H=(2 a, 3 b) mid a, b in Z, mostrar que H é subgrupo de G.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o grupo , que é o conjunto de todos os pares de números inteiros com a operação de adição. Queremos mostrar que é um subgrupo de .
Conteúdo da matéria: Subgrupos em teoria dos grupos.
O que vamos precisar: Saber o que define um subgrupo e verificar as propriedades necessárias para ser um subgrupo de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subconjunto de um grupo é chamado de subgrupo se:
  1. Fechamento: Para todo , a operação também pertence a .
  2. Elemento neutro: O elemento neutro de pertence a .
  3. Inversos: Para todo , o inverso de em também pertence a .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

Verificando o elemento neutro:
No grupo (2a, 3b) = (2 times 0, 3 times 0) = (0, 0) , o elemento neutro é .
Vamos ver se pertence a :
Se escolhermos e , então:
Portanto, . A propriedade do elemento neutro está satisfeita.

Passo 4

Verificando a operação de fechamento:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de (2a, 3b) + (2c, 3d) = (2a + 2c, 3b + 3d) = (2(a + c), 3(b + d)) , digamos e , onde .
Somando esses dois elementos:
Como e são números inteiros (porque os inteiros são fechados sob adição), temos que pertence a .
Assim, é fechado sob a operação de adição.

Passo 5

Verificando os inversos:
Pegamos um elemento qualquer de (2a, 3b) + (-2a, -3b) = (0, 0) , digamos (2a', 3b') = (2 times (-a), 3 times (-b)) = (-2a, -3b) , onde .
O inverso de em é , pois:
Precisamos verificar se pertence a :
Escolhendo e , temos:
Como e também são inteiros, pertence a .
Portanto, todo elemento de tem seu inverso também em .

Resposta

Como satisfaz as três propriedades necessárias (elemento neutro, fechamento e existência de inversos), concluímos que é de fato um subgrupo de .

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