Para
, mostrar que
é subgrupo de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o grupo
, que é o conjunto de todos os pares de números inteiros com a operação de adição. Queremos mostrar que
é um subgrupo de
.
Conteúdo da matéria: Subgrupos em teoria dos grupos.
O que vamos precisar: Saber o que define um subgrupo e verificar as propriedades necessárias para ser um subgrupo de
.
O que vamos precisar: Saber o que define um subgrupo e verificar as propriedades necessárias para
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo. Um subconjunto
de um grupo
é chamado de subgrupo se:
- Fechamento: Para todo
, a operação também pertence a . - Elemento neutro: O elemento neutro de
pertence a . - Inversos: Para todo
, o inverso de em também pertence a .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
Verificando o elemento neutro:
No grupo
, o elemento neutro é
.
Vamos ver se
pertence a
:
Se escolhermos
e
, então:
Portanto,
. A propriedade do elemento neutro está satisfeita.
Passo 4
Verificando a operação de fechamento:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, onde
.
Somando esses dois elementos:
Como
e
são números inteiros (porque os inteiros são fechados sob adição), temos que
pertence a
.
Assim,
é fechado sob a operação de adição.
Passo 5
Verificando os inversos:
Pegamos um elemento qualquer de
, digamos
, onde
.
O inverso de
em
é
, pois:
Precisamos verificar se
pertence a
:
Escolhendo
e
, temos:
Como
e
também são inteiros,
pertence a
.
Portanto, todo elemento de
tem seu inverso também em
.
Resposta
Como
satisfaz as três propriedades necessárias (elemento neutro, fechamento e existência de inversos), concluímos que
é de fato um subgrupo de
.
Exercícios relacionados
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em
, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
e)
e)
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Encontrar
para:
b) e
b)
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de
?
c)
c)
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Encontrar
para:
d) e
d)