(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a ordem do elemento no grupo . Isso está dentro do conteúdo de teoria dos grupos, mais especificamente sobre permutation groups. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a ordem de uma permutação composta por ciclos disjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento em um grupo é o menor número inteiro positivo tal que é a identidade do grupo. No caso de permutações, a identidade é a permutação que deixa todos os elementos no lugar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a permutação . Ela é composta por dois ciclos disjuntos: e . Ciclos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum.
Passo 4
A ordem de uma permutação que é a composição de ciclos disjuntos é igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) das ordens de cada ciclo. Então, precisamos encontrar a ordem de e a ordem de separadamente.
Passo 5
Vamos começar com o ciclo . Esse é um ciclo de 2 elementos, então sua ordem é . Isso porque aplicado duas vezes retorna todos os elementos ao lugar original: .
Passo 6
Agora, o ciclo é um ciclo de 3 elementos, então sua ordem é . Aplicando três vezes, cada elemento volta à sua posição inicial: .
Passo 7
Com as ordens dos ciclos encontradas ( e ), agora calculamos o MMC desses números. O MMC de e é , porque é o menor número que é múltiplo de ambos.