(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em S5, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
e) (1,3)(2,4,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a ordem do elemento (1,3)(2,4,5) no grupo S5. Isso está dentro do conteúdo de teoria dos grupos, mais especificamente sobre permutation groups. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a ordem de uma permutação composta por ciclos disjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento g em um grupo é o menor número inteiro positivo n tal que g^n é a identidade do grupo. No caso de permutações, a identidade é a permutação que deixa todos os elementos no lugar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a permutação (1,3)(2,4,5). Ela é composta por dois ciclos disjuntos: (1,3) e (2,4,5). Ciclos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum.

Passo 4

A ordem de uma permutação que é a composição de ciclos disjuntos é igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) das ordens de cada ciclo. Então, precisamos encontrar a ordem de (1,3) e a ordem de (2,4,5) separadamente.

Passo 5

Vamos começar com o ciclo (1,3). Esse é um ciclo de 2 elementos, então sua ordem é 2. Isso porque (1,3) aplicado duas vezes retorna todos os elementos ao lugar original: (1,3) circ (1,3) = id.

Passo 6

Agora, o ciclo (2,4,5) é um ciclo de 3 elementos, então sua ordem é 3. Aplicando (2,4,5) três vezes, cada elemento volta à sua posição inicial: (2,4,5) circ (2,4,5) circ (2,4,5) = id.

Passo 7

Com as ordens dos ciclos encontradas ( 2 e 3), agora calculamos o MMC desses números. O MMC de 2 e 3 é 6, porque 6 é o menor número que é múltiplo de ambos.

Resposta

A ordem do elemento (1,3)(2,4,5) em S5 é 6.

Exercícios relacionados

(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Encontrar G / H para:
b) G=S3 e H=e,(1,2,3),(1,3,2)
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Para G=M2 x 2(R) e H=(lla & 0 b & 0) rvert, a, b in R mostrar que H.
Para G=Z times Z e H=(2 a, 3 b) mid a, b in Z, mostrar que H é subgrupo de G.
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12 ?
c) 0, 2, 3, 5, 8