(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em
, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a ordem do elemento
no grupo
. Isso está dentro do conteúdo de teoria dos grupos, mais especificamente sobre permutation groups. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a ordem de uma permutação composta por ciclos disjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento
em um grupo é o menor número inteiro positivo
tal que
é a identidade do grupo. No caso de permutações, a identidade é a permutação que deixa todos os elementos no lugar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a permutação
. Ela é composta por dois ciclos disjuntos:
e
. Ciclos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum.
Passo 4
A ordem de uma permutação que é a composição de ciclos disjuntos é igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) das ordens de cada ciclo. Então, precisamos encontrar a ordem de
e a ordem de
separadamente.
Passo 5
Vamos começar com o ciclo
. Esse é um ciclo de 2 elementos, então sua ordem é
. Isso porque
aplicado duas vezes retorna todos os elementos ao lugar original:
.
Passo 6
Agora, o ciclo
é um ciclo de 3 elementos, então sua ordem é
. Aplicando
três vezes, cada elemento volta à sua posição inicial:
.
Passo 7
Com as ordens dos ciclos encontradas (
e
), agora calculamos o MMC desses números. O MMC de
e
é
, porque
é o menor número que é múltiplo de ambos.
Resposta
A ordem do elemento
em
é 6.