(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de
?
c)
c)
Passo 1
Então, temos que verificar se o conjunto
é um subgrupo cíclico de
. Vamos usar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos e grupos cíclicos, e a operação de adição modular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subgrupo de
deve ser fechado sob a operação de adição e conter o elemento neutro, que é
. Também, para ser cíclico, deve ser gerado por um único elemento.
Passo 3
Vamos verificar a fechamento do conjunto. Ao adicionar quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto:
-
, que não está no conjunto.
Como já encontramos uma operação que sai do conjunto, ele não é fechado sob adição.
Passo 4
Como o conjunto não é fechado sob a operação de adição, ele não satisfaz as condições para ser um subgrupo de
.
Resposta
O conjunto
não é um subgrupo cíclico de
.