(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12 ?
c) 0, 2, 3, 5, 8

Passo 1

Então, temos que verificar se o conjunto 0, 2, 3, 5, 8 é um subgrupo cíclico de Z12. Vamos usar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos e grupos cíclicos, e a operação de adição modular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subgrupo de Z12 deve ser fechado sob a operação de adição e conter o elemento neutro, que é 0. Também, para ser cíclico, deve ser gerado por um único elemento.

Passo 3

Vamos verificar a fechamento do conjunto. Ao adicionar quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto:
  • 2 + 2 = 4, que não está no conjunto.
    Como já encontramos uma operação que sai do conjunto, ele não é fechado sob adição.

Passo 4

Como o conjunto não é fechado sob a operação de adição, ele não satisfaz as condições para ser um subgrupo de Z12.

Resposta

O conjunto 0, 2, 3, 5, 8 não é um subgrupo cíclico de Z12.

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