(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Encontrar
para:
d)
e
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar
onde
e
. Isso tá relacionado a grupos e como a gente pode “dividir” um grupo por um de seus subgrupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, subgrupos e o que significa o quociente de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto de todos os números inteiros, e
é o conjunto de todos os múltiplos de 3. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, o grupo quociente
consiste nas classes laterais de
em
. Isso significa que a gente vai pegar cada inteiro e somar com todos os elementos de
.
Então, as classes laterais seriam:
Passo 4
Perceba que, após isso, não temos mais classes distintas. Ou seja, qualquer número inteiro vai cair em uma dessas três classes. Isso significa que
tem exatamente três elementos distintos:
,
e
.
Passo 5
Essas três classes correspondem aos elementos do grupo
, que é o conjunto dos restos da divisão dos inteiros por 3, ou seja,
com a operação de adição módulo 3.
Resposta
Portanto,
é isomorfo a
.
Exercícios relacionados
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de
?
c)
c)
Para
, mostrar que
é subgrupo de
.
Para o grupo de permutações
.
é um grupo abeliano? Justifique.
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de
?
a)
a)