(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Encontrar G / H para:
d) G=Z e H=3 Z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar onde e . Isso tá relacionado a grupos e como a gente pode “dividir” um grupo por um de seus subgrupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, subgrupos e o que significa o quociente de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todos os números inteiros, e é o conjunto de todos os múltiplos de 3. Ou seja, .

Passo 3

Agora, o grupo quociente consiste nas classes laterais de em . Isso significa que a gente vai pegar cada inteiro e somar com todos os elementos de .
Então, as classes laterais seriam:

Passo 4

Perceba que, após isso, não temos mais classes distintas. Ou seja, qualquer número inteiro vai cair em uma dessas três classes. Isso significa que tem exatamente três elementos distintos: , e .

Passo 5

Essas três classes correspondem aos elementos do grupo , que é o conjunto dos restos da divisão dos inteiros por 3, ou seja, com a operação de adição módulo 3.

Resposta

Portanto, é isomorfo a .

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Para o grupo de permutações S4.
<(1,2,3)> é um grupo abeliano? Justifique.
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