Sejam u=(1,1,1)C e v=(1, ldots, 1)C
(e) Se b=(-5,-4,12)B, quais são as suas coordenadas em relação a base canônica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as coordenadas do vetor b na base canônica, dado que b tem coordenadas em relação à base . Isso envolve conceitos de mudança de base na Álgebra Linear. Vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quais são os vetores que formam a base u = (1, 1, 1)C e v = (1, ldots, 1)C . Infelizmente, o enunciado não os especifica diretamente, mas podemos supor que eles são os vetores u e v mencionados:
Vamos assumir que a base é formada por esses vetores e , além de um terceiro vetor que precisamos identificar para completar a base.

Passo 3

Para fazer a mudança de base, precisamos construir a matriz de mudança de base de P = [ u v w ] para a base canônica . Essa matriz é formada colocando os vetores de como colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Onde �� o terceiro vetor da base . Sem a definição de , não podemos prosseguir diretamente. Vamos supor que também seja para simplificar.

Passo 4

Com a matriz bC = P cdot bB definida, podemos expressar o vetor -5 -4 12 na base canônica multiplicando bC = 1 & 1 & 1 1 & ldots & 1 1 & 1 & 1 cdot -5 -4 12 pelas coordenadas de na base :
Dado que , vamos multiplicar:
Calculando essa multiplicação, teremos as coordenadas de na base canônica.

Passo 5

Realizando a multiplicação:
bC = 1(-5) + 1(-4) + 1(12) 1(-5) + ldots + 1(12) 1(-5) + 1(-4) + 1(12) = -5 -4 +12 -5 -4 +12 -5 -4 +12 = 3 3 3

Resposta

As coordenadas de na base canônica são .

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