Sejam e
(e) Se , quais são as suas coordenadas em relação a base canônica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as coordenadas do vetor b na base canônica, dado que b tem coordenadas em relação à base . Isso envolve conceitos de mudança de base na Álgebra Linear. Vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quais são os vetores que formam a base . Infelizmente, o enunciado não os especifica diretamente, mas podemos supor que eles são os vetores u e v mencionados:
Vamos assumir que a base é formada por esses vetores e , além de um terceiro vetor que precisamos identificar para completar a base.

Passo 3

Para fazer a mudança de base, precisamos construir a matriz de mudança de base de para a base canônica . Essa matriz é formada colocando os vetores de como colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Onde �� o terceiro vetor da base . Sem a definição de , não podemos prosseguir diretamente. Vamos supor que também seja para simplificar.

Passo 4

Com a matriz definida, podemos expressar o vetor na base canônica multiplicando pelas coordenadas de na base :
Dado que , vamos multiplicar:
Calculando essa multiplicação, teremos as coordenadas de na base canônica.

Passo 5

Realizando a multiplicação:

Resposta

As coordenadas de na base canônica são .

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tal que .
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b) Seja . Quais as coordenadas do vetor na base ?