Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas bases, e , no espaço vetorial. As expressões fornecidas mostram como os vetores da base , chamados , e , estão escritos em termos dos vetores da base , que são , e . Nosso objetivo aqui é determinar a **matriz de mudança de base** que faz a transição de coordenadas da base para a base .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma **matriz de mudança de base**. Imagine que você tem duas maneiras diferentes de representar vetores em um espaço: uma com a base e outra com a base . A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. Nesse caso, queremos converter de para .
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Isso significa que cada vetor será uma coluna na nossa matriz de mudança de base. Vamos ver como fazer isso:
Dado:
Isso significa que:
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Passo 4
Agora, vamos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes de cada em colunas:
Aqui, cada coluna representa um vetor da base expresso na base .