g1=e1+e2+e3 g2=2 e1+e3 g3=e2
a) Determine a matriz mudança de base de B para C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas bases, B e C, no espaço vetorial. As expressões fornecidas mostram como os vetores da base C, chamados g1, g2 e g3, estão escritos em termos dos vetores da base B, que são e1, e2 e e3. Nosso objetivo aqui é determinar a matriz de mudança de base que faz a transição de coordenadas da base B para a base C.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem duas maneiras diferentes de representar vetores em um espaço: uma com a base B e outra com a base C. A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. Nesse caso, queremos converter de B para C.

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base de B para C, precisamos expressar cada vetor da base C em termos da base B. Isso significa que cada vetor gi será uma coluna na nossa matriz de mudança de base. Vamos ver como fazer isso:
Dado:
g1=e1+e2+e3 g2=2 e1+e3 g3=e2
Isso significa que:
  • g1 = 1 cdot e1 + 1 cdot e2 + 1 cdot e3
  • g2 = 2 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3
  • g3 = 0 cdot e1 + 1 cdot e2 + 0 cdot e3

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes de cada gi em colunas:
PB C = 1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Aqui, cada coluna representa um vetor da base C expresso na base B.

Resposta

A matriz de mudança de base de B para C é
PB C = 1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

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