a) Determine a matriz mudança de base de para .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas bases, e , no espaço vetorial. As expressões fornecidas mostram como os vetores da base , chamados , e , estão escritos em termos dos vetores da base , que são , e . Nosso objetivo aqui é determinar a **matriz de mudança de base** que faz a transição de coordenadas da base para a base .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma **matriz de mudança de base**. Imagine que você tem duas maneiras diferentes de representar vetores em um espaço: uma com a base e outra com a base . A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. Nesse caso, queremos converter de para .

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Isso significa que cada vetor será uma coluna na nossa matriz de mudança de base. Vamos ver como fazer isso: Dado: Isso significa que: - - -

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes de cada em colunas: Aqui, cada coluna representa um vetor da base expresso na base .

Resposta

A matriz de mudança de base de para é

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