Sejam E=e1, e2, e3, e G=g1, g2, g3 bases de R^3 tais que
l g1=e1+e3 g2=2 e1+e2+e3 g3=e1+2 e2+e3
Determine as matrizes mudanças de base [M]G^G e[M]E^G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mudança de Base em Álgebra Linear. Basicamente, temos duas bases diferentes para o espaço : uma base padrão e outra base que é definida em termos de . O que precisamos descobrir são as matrizes que nos ajudam a mudar de uma base para outra, ou seja, as matrizes de mudança de base e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado em uma base e quer representá-lo em outra base. A matriz de mudança de base faz essa conversão para você. Ela “traduz” as coordenadas do vetor de uma base para outra.

Passo 3

Vamos começar pela matriz . Essa notação significa a matriz que muda as coordenadas de um vetor da base para a própria base . Basicamente, isso é uma forma chique de dizer que não estamos mudando de base, então a matriz deve ser a identidade, porque cada vetor já está na base .

Passo 4

Agora, vamos para a matriz g1 = e1 + e3 g2 = 2e1 + e2 + e3 g3 = e1 + 2e2 + e3 . Essa é a matriz que converte as coordenadas de um vetor da base para a base . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Dado:
Os vetores , e já estão expressos em termos de .

Passo 5

A matriz de mudança de base [M]E^G = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 é formada colocando os coeficientes desses vetores como colunas da matriz. Então, temos:
Aqui, cada coluna corresponde aos coeficientes de , e em termos de .

Resposta

[M]G^G = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e [M]E^G = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1

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