Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mudança de Base em Álgebra Linear. Basicamente, temos duas bases diferentes para o espaço : uma base padrão e outra base que é definida em termos de . O que precisamos descobrir são as matrizes que nos ajudam a mudar de uma base para outra, ou seja, as matrizes de mudança de base e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado em uma base e quer representá-lo em outra base. A matriz de mudança de base faz essa conversão para você. Ela “traduz” as coordenadas do vetor de uma base para outra.
Passo 3
Vamos começar pela matriz . Essa notação significa a matriz que muda as coordenadas de um vetor da base para a própria base . Basicamente, isso é uma forma chique de dizer que não estamos mudando de base, então a matriz deve ser a identidade, porque cada vetor já está na base .
Passo 4
Agora, vamos para a matriz . Essa é a matriz que converte as coordenadas de um vetor da base para a base . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Dado:
Os vetores , e já estão expressos em termos de .
Passo 5
A matriz de mudança de base é formada colocando os coeficientes desses vetores como colunas da matriz. Então, temos:
Aqui, cada coluna corresponde aos coeficientes de , e em termos de .