Sejam bases de tais que
Determine as matrizes mudanças de base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mudança de Base em Álgebra Linear. Basicamente, temos duas bases diferentes para o espaço : uma base padrão e outra base que é definida em termos de . O que precisamos descobrir são as matrizes que nos ajudam a mudar de uma base para outra, ou seja, as matrizes de mudança de base e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado em uma base e quer representá-lo em outra base. A matriz de mudança de base faz essa conversão para você. Ela “traduz” as coordenadas do vetor de uma base para outra.

Passo 3

Vamos começar pela matriz . Essa notação significa a matriz que muda as coordenadas de um vetor da base para a própria base . Basicamente, isso é uma forma chique de dizer que não estamos mudando de base, então a matriz deve ser a identidade, porque cada vetor já está na base .

Passo 4

Agora, vamos para a matriz . Essa é a matriz que converte as coordenadas de um vetor da base para a base . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Dado:
Os vetores , e já estão expressos em termos de .

Passo 5

A matriz de mudança de base é formada colocando os coeficientes desses vetores como colunas da matriz. Então, temos:
Aqui, cada coluna corresponde aos coeficientes de , e em termos de .

Resposta

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Mostre que os vetores e formam uma base de . Exprima cada dos vetores e como combinação linear dos elementos dessa base.
Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.
a) Determine a matriz mudança de base de para .
Sejam
(d) Encontre as coordenadas do ponto (em relação a base canônica).