Sejam
u=(1,1,0), v=(1,-1,1), w=(2,1,3)
(d) Encontre as coordenadas do ponto G (em relação a base canônica).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos três vetores na base canônica:
u = (1, 1, 0), v = (1, -1, 1), w = (2, 1, 3)
O objetivo é encontrar as coordenadas do ponto na base canônica. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é a base canônica. Na base canônica do espaço tridimensional, os vetores são:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Cada ponto G = xe1 + ye2 + ze3 = (x, y, z) pode ser representado como uma combinação linear desses vetores:

Passo 3

Agora, se tivermos G = au + bv + cw expresso em termos da base formada por G = a(1, 1, 0) + b(1, -1, 1) + c(2, 1, 3) , ou seja:
Queremos encontrar as coordenadas na base canônica. Para isso, substituímos os vetores:

Passo 4

Vamos multiplicar cada componente:
G = (a + b + 2c, a - b + c, 0 + b + 3c)
Isso nos dá:
G = (x, y, z) = (a + b + 2c, a - b + c, b + 3c)

Passo 5

Portanto, as coordenadas de x = a + b + 2c na base canônica são diretamente obtidas pelas somas das componentes das combinações lineares:
y = a - b + c
z = b + 3c

Resposta

As coordenadas do ponto G = (a + b + 2c,; a - b + c,; b + 3c) na base canônica são:

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