Mostre que os vetores u=(1,1) e v=(-1,1) formam uma base de R^2. Exprima cada u m dos vetores e1=(1,0) e e2=(0,1) como combinação linear dos elementos dessa base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que os vetores u = (1,1) e v = (-1,1) formam uma base do espaço R^2. Além disso, precisamos expressar os vetores canônicos e1 = (1,0) e e2 = (0,1) como combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, geração do espaço e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de R^2 é um conjunto de dois vetores que são lineares independentes e que geram todo o espaço. Isso quer dizer que qualquer vetor em mathbbR^2𝕞𝕒𝕥𝕙𝕓𝕓𝟚 pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores u e v são linearmente independentes. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação au + bv = 0 é a = 0 e b = 0.
Escrevendo isso em componentes:
a(1,1) + b(-1,1) = (0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a - b = 0 a + b = 0
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: a = b.
Substituindo na segunda equação: a + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0.
Então, b = 0 também. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que u e v geram todo o espaço R^2. Como já mostramos que são dois vetores linearmente independentes em R^2, automaticamente eles geram o espaço todo.
Isso porque em um espaço vetorial, se você tem n vetores linearmente independentes em R^n, eles formam uma base.

Passo 5

Agora que estabelecemos que u e v formam uma base de R^2, vamos expressar os vetores canônicos e1 = (1,0) e e2 = (0,1) como combinações lineares desses vetores.
Ou seja, queremos encontrar números a, b, c e d tais que:
e1 = au + bv
e2 = cu + dv

Passo 6

Vamos começar com e1 = (1,0):
a(1,1) + b(-1,1) = (1,0)
Isso dá o sistema:
a - b = 1 a + b = 0
Somando as duas equações:
2a = 1 Rightarrow a = 12
Substituindo na segunda equação:
12 + b = 0 Rightarrow b = -12
Então:
e1 = 12u - 12v

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para e2 = (0,1):
c(1,1) + d(-1,1) = (0,1)
Isso resulta no sistema:
c - d = 0 c + d = 1
Somando as duas equações:
2c = 1 Rightarrow c = 12
Substituindo na primeira equação:
12 - d = 0 Rightarrow d = 12
Então:
e2 = 12u + 12v

Resposta

Os vetores u = (1,1) e v = (-1,1) formam uma base de R^2. Além disso, os vetores canônicos podem ser expressos como:
e1 = 12u - 12v
e2 = 12u + 12v

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