Mostre que os vetores
e
formam uma base de
. Exprima cada
dos vetores
e
como combinação linear dos elementos dessa base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que os vetores
e
formam uma base do espaço
. Além disso, precisamos expressar os vetores canônicos
e
como combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, geração do espaço e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de
é um conjunto de dois vetores que são lineares independentes e que geram todo o espaço. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação
é
e
.
Escrevendo isso em componentes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
.
Substituindo na segunda equação:
.
Então,
também. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
e
geram todo o espaço
. Como já mostramos que são dois vetores linearmente independentes em
, automaticamente eles geram o espaço todo.
Isso porque em um espaço vetorial, se você tem
vetores linearmente independentes em
, eles formam uma base.
Passo 5
Agora que estabelecemos que
e
formam uma base de
, vamos expressar os vetores canônicos
e
como combinações lineares desses vetores.
Ou seja, queremos encontrar números
,
,
e
tais que:
Passo 6
Vamos começar com
:
Isso dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Resposta
Os vetores
e
formam uma base de
. Além disso, os vetores canônicos podem ser expressos como: