Mostre que os vetores e formam uma base de . Exprima cada dos vetores e como combinação linear dos elementos dessa base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que os vetores e formam uma base do espaço . Além disso, precisamos expressar os vetores canônicos e como combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, geração do espaço e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de é um conjunto de dois vetores que são lineares independentes e que geram todo o espaço. Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação é e .
Escrevendo isso em componentes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Então, também. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que e geram todo o espaço . Como já mostramos que são dois vetores linearmente independentes em , automaticamente eles geram o espaço todo.
Isso porque em um espaço vetorial, se você tem vetores linearmente independentes em , eles formam uma base.
Passo 5
Agora que estabelecemos que e formam uma base de , vamos expressar os vetores canônicos e como combinações lineares desses vetores.
Ou seja, queremos encontrar números , , e tais que:
Passo 6
Vamos começar com :
Isso dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Resposta
Os vetores e formam uma base de . Além disso, os vetores canônicos podem ser expressos como: