Uma reta r é dada como intersecção de dois planos:
r:lx+y+z-1=0 x+y-z=0
Dê equações paramétricas de r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações paramétricas da reta , que é a interseção de dois planos. Pra isso, a gente vai usar um pouco de álgebra linear e geometria analítica. Vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar uma direção e um ponto na reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos planos:
x + y + z - 1 = 0 x + y - z = 0
Nossa missão é encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (x + y + z - 1) - (x + y - z) = 0 2z - 1 = 0 2z = 1 z = 12 :
Então, descobrimos que .

Passo 4

Agora que sabemos o valor de x + y - 12 = 0 x + y = 12 , vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar uma relação entre e :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 5

Para encontrar as equações paramétricas, vamos expressar duas das variáveis em termos de um parâmetro, geralmente chamado de t + y = 12 y = 12 - t . Vamos escolher . Então, da equação :
E já temos .

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
x = t y = 12 - t z = 12
Essas são as equações paramétricas da reta .

Resposta

As equações paramétricas da reta x = t y = 12 - t z = 12 são:
onde é um parâmetro real.

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