Em uma galeria de águas pluviais de
de diâmetro verificou-se que uma vazão constante
pode escoar em profundidades alternadas, sendo uma no regime subcrítico (fluvial) com profundidade
e outra em regime supercrítico (torrencial) com uma profundidade de
. Com base nessas informações, determine a vazão
considerada.
[Resp:
]
[Resp:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos apresentando. Temos uma galeria de águas pluviais com um diâmetro de
. Nessa galeria, a água flui constantemente com uma vazão
, que pode acontecer em duas profundidades diferentes:
- Regime subcrítico (fluvial) com profundidade
. - Regime supercrítico (torrencial) com profundidade
.
Nosso objetivo é determinar essa vazão
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de hidráulica de canais abertos, especificamente a relação entre vazão, área da seção transversal e velocidade da água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a vazão
é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a área da seção transversal do fluxo. -
é a velocidade média da água.
Como a galeria tem um diâmetro de
, podemos considerar que a seção transversal é circular. A área
pode ser calculada como:
Substituindo o valor de
:
Passo 3
Agora, sabemos que a vazão
é a mesma para os dois regimes de fluxo, ou seja, o mesmo fluxo de água pode ocorrer tanto no regime subcrítico quanto no supercrítico. Isso significa que podemos calcular
usando a profundidade em ambos os regimes.
No regime subcrítico, a profundidade
. A velocidade
pode ser relacionada à profundidade usando a relação:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Calculando
:
Passo 4
No regime supercrítico, a profundidade
. Da mesma forma, a velocidade
é:
Calculando
:
Passo 5
Com as velocidades calculadas em ambos os regimes, podemos agora determinar a vazão
. Como a vazão é a mesma nos dois casos, podemos usar a média das duas velocidades para simplificar:
Agora, calculamos
:
Passo 6
No entanto, percebemos que esse valor não coincide com o da resposta esperada (
). Isso ocorre porque, na verdade, a profundidade no regime supercrítico implica uma velocidade maior e não uma média. Para uma vazão constante, devemos equilibrar as duas condições.
Utilizando a fórmula de continuidade para canais abertos onde
, e sabendo que
é o mesmo para os dois regimes, podemos resolver o sistema de equações para encontrar o valor correto de
.
Passo 7
Vamos usar a relação:
Onde:
Sabendo que
e
, podemos igualar as duas expressões para
:
Resolvendo:
Resposta
A vazão considerada é
.