Questão: A temperatura e o número de Mach antes de um choque oblíquo são T1=15^circ C e M1=2,75 respectivamente, e a razão de pressões através do choque é 4,5. Determine o ângulo de deflexão, theta, o ângulo de choque, beta, e o número de Mach do escoamento após o choque, M2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar três coisas sobre um choque oblíquo: o ângulo de deflexão ( theta), o ângulo de choque ( beta) e o número de Mach após o choque ( M2). A gente sabe que antes do choque, a temperatura é T1=15^circ C e o número de Mach é M1=2,75. Além disso, a razão de pressões através do choque é 4,5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aerodinâmica relacionados a choques oblíquos.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas de gás ideal usam Kelvin. A conversão é simples:
T1 = 15^circ C + 273,15 = 288,15 , K

Passo 3

Agora, vamos usar a razão de pressões para achar a relação entre os números de Mach antes e depois do choque. A relação de pressões em um choque oblíquo é dada por:
P2P1 = 1 + 2gammagamma + 1 ( M1^2 sin^2beta - 1 )
Sabemos que P2P1 = 4,5 e M1 = 2,75. Precisamos isolar beta nessa equação.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar sin^2beta:
4,5 = 1 + 2gammagamma + 1 ( 2,75^2 sin^2beta - 1 )
Assumindo que o fluxo é de ar, tomamos gamma = 1,4. Substituindo:
4,5 = 1 + 2 times 1,41,4 + 1 ( 7,5625 sin^2beta - 1 )
4,5 = 1 + 2,82,4 ( 7,5625 sin^2beta - 1 )
4,5 = 1 + 1,1667 ( 7,5625 sin^2beta - 1 )
Subtraindo 1 de ambos os lados:
3,5 = 1,1667 ( 7,5625 sin^2beta - 1 )
Dividindo por 1,1667:
3,5 / 1,1667 approx 3
Então:
7,5625 sin^2beta - 1 = 3
7,5625 sin^2beta = 4
sin^2beta = 47,5625 approx 0,5294
sinbeta approx raiz0,5294 approx 0,727
Finalmente, calculando beta:
beta approx arcsin(0,727) approx 47,4^circ

Passo 5

Agora que temos o ângulo de choque ( beta approx 47,4^circ), vamos encontrar o ângulo de deflexão ( theta) usando a relação de orientação do choque oblíquo. A relação entre theta, beta e M1 é dada pela equação de Takane:
tantheta = 2 cotbeta ( M1^2 sin^2beta - 1M1^2 (gamma + cos2beta) + 2 )
Substituindo os valores:
tantheta = 2 cot(47,4^circ) ( 2,75^2 times 0,727^2 - 12,75^2 (1,4 + cos(94,8^circ)) + 2 )
Calculando passo a passo:
cot(47,4^circ) = 1tan(47,4^circ) approx 0,936
2 times 0,936 approx 1,872
2,75^2 times 0,727^2 = 7,5625 times 0,528 approx 4
4 - 1 = 3
No denominador:
cos(94,8^circ) approx -0,0707
1,4 + (-0,0707) = 1,3293
2,75^2 times 1,3293 = 7,5625 times 1,3293 approx 10,06
10,06 + 2 = 12,06
Então:
tantheta = 1,872 times 312,06 approx 1,872 times 0,249 approx 0,466
Calculando theta:
theta approx arctan(0,466) approx 25,0^circ

Passo 6

Por último, vamos encontrar o número de Mach após o choque ( M2). Usamos a relação para o número de Mach em choques oblíquos:
M2 = M1 sinbetasin(beta - theta)
Substituindo os valores:
M2 = 2,75 times sin(47,4^circ)sin(47,4^circ - 25,0^circ)
Calculando:
sin(47,4^circ) approx 0,727
sin(22,4^circ) approx 0,383
Então:
M2 = 2,75 times 0,7270,383 approx 2,00,383 approx 5,22

Resposta

O ângulo de deflexão é aproximadamente 25,0^circ, o ângulo de choque é cerca de 47,4^circ e o número de Mach após o choque é M2 approx 5,22.

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