Um garoto gira horizontalmente uma bola presa em um fio de raio r=1,00 m. Quantas voltas por minuto deve fazer a bola para que a aceleração centrípeta seja, em módulo, igual à da gravidade (9,80 m / s^2) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um garoto que está girando uma bola presa a um fio de 1,00 metro de comprimento horizontalmente. A pergunta é: Quantas voltas por minuto (rpm) a bola deve dar para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade, que é ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, especificamente a aceleração centrípeta. Precisamos relacionar a aceleração centrípeta com a velocidade de rotação da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da aceleração centrípeta ( ac = v^2r ):
9,80 = v^21,00
Onde:
  • é a velocidade tangencial da bola.
  • é o raio do círculo, que neste caso é .
Queremos que . Então, temos:

Passo 3

Resolvendo para v^2 = 9,80 times 1,00 v^2 = 9,80 v = raiz9,80 v approx 3,13 , m/s :
Então, a velocidade tangencial necessária é aproximadamente .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a frequência de rotação, ou seja, quantas voltas a bola dá por minuto. Primeiro, vamos relacionar a velocidade tangencial ( v = 2pi r f ) com a frequência ( f = v2pi r ) usando a fórmula:
f = 3,132pi times 1,00 f = 3,136,28 f approx 0,50 , Hz
Rearranjando para :
Substituindo os valores que temos:
Isso significa que a bola dá aproximadamente 0,50 voltas por segundo.

Passo 5

Como a pergunta pede as voltas por minuto, precisamos converter de Hertz (voltas por segundo) para voltas por minuto:
Vo
Substituindo:
Vo

Resposta

A bola deve fazer aproximadamente 30 voltas por minuto para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade.

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