Suponha que a temperatura de 4,0 mols de um gás ideal diatômico sofra um aumento de temperatura de 60 K enquanto sua pressão é mantida constante a 3 atm . Quantos graus de liberdade possuem as moléculas que constituem este gás? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre gases ideais diatômicos e suas graus de liberdade. O enunciado diz que 4,0 mols de um gás ideal diatômico aumentam a temperatura em 60 K enquanto a pressão permanece constante em 3 atm. Nosso objetivo é descobrir quantos graus de liberdade as moléculas desse gás possuem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria dos gases ideais, calor específico e como esses conceitos se relacionam com os graus de liberdade das moléculas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que um gás ideal diatômico é composto por moléculas formadas por dois átomos. Essas moléculas têm graus de liberdade que correspondem aos modos de movimento que elas podem ter: translação, rotação e, às vezes, vibração.
Os graus de liberdade (f) de uma molécula são importantes porque determinam a capacidade calorífica do gás. Para gases ideais, a capacidade calorífica molar a pressão constante ($ C_p $) está relacionada aos graus de liberdade pela fórmula:
Onde $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 8,314 , J/(mol·K) $).
Passo 3
Como a pressão está constante, vamos usar a relação do calor fornecido ao gás nessa condição:
Onde:
- $ Q $ é o calor fornecido,
- $ n = 4,0 , mols $,
- $ \Delta T = 60 , K $.
Mas para encontrar $ C_p $, precisamos relacionar isso com o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o trabalho (W) realizado pelo gás quando a pressão é constante. A fórmula para trabalho em pressão constante é:
Para encontrar $ \Delta V $, usamos a Lei dos Gases Ideais:
Como a pressão $ P $ é constante, a variação de volume $ \Delta V $ é proporcional à variação de temperatura $ \Delta T $:
Mas como não temos os valores iniciais de $ V $ e $ T $, podemos trabalhar diretamente relacionando $ Q $ e $ W $.
Passo 5
Vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica:
Onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e está relacionada a $ C_v $:
Além disso, sabemos que:
Então, podemos expressar $ C_v $ em termos de $ f $:
Passo 6
Substituindo $ C_v $ na expressão da variação da energia interna:
Mas $ Q = n C_p \Delta T = n \left( \frac{f}{2} R + R \right) \Delta T $. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, sabemos que o trabalho $ W $ também é igual a:
Isso confirma a relação que usamos. Portanto, voltando à expressão para $ C_p $:
Como $ C_p $ também pode ser expresso como:
Mas não temos o valor de $ Q $, então devemos focar na relação direta entre $ C_p $ e $ f $.
Para um gás diatômico, geralmente consideramos $ f = 5 $ (3 translação + 2 rotação), mas vamos justificar isso.
Passo 8
Sabemos que para moléculas diatômicas, além dos movimentos de translação, elas podem girar em torno de dois eixos. A rotação em torno do terceiro eixo geralmente não contribui significativamente à energia, especialmente a temperaturas moderadas, onde as vibrações ainda não estão ativas.
Portanto, os graus de liberdade são:
- Translação: 3
- Rotação: 2
- Vibração: 0 (a temperaturas fornecidas)
Totalizando:
Resposta
As moléculas do gás possuem 5 graus de liberdade.