Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que está dentro dos números reais . Precisamos mostrar duas igualdades envolvendo operações de interior () e fecho () de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é interior de um conjunto, fecho de um conjunto e como funcionam os complementos de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o interior de um conjunto , denotado por , é o maior conjunto aberto contido em . Já o fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém .
Passo 3
Vamos começar mostrando a primeira igualdade:
O lado esquerdo, , é o complemento do interior de . O lado direito, , é o fecho do complemento de .
Passo 4
Sabemos que o complemento de um conjunto aberto é fechado e vice-versa. Como é aberto, é fechado. Além disso, é o complemento de , e o fecho de um conjunto fechado é ele mesmo. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos mostrar a segunda igualdade:
O lado esquerdo, , é o complemento do fecho de . O lado direito, , é o interior do complemento de .
Passo 6
Como é fechado, é aberto. O interior de é o maior conjunto aberto contido em . Mas também é aberto e está contido em , então: