Para todo , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que está dentro dos números reais . Precisamos mostrar duas igualdades envolvendo operações de interior ( ) e fecho ( ) de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é interior de um conjunto, fecho de um conjunto e como funcionam os complementos de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o interior de um conjunto , denotado por , é o maior conjunto aberto contido em . Já o fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém .

Passo 3

Vamos começar mostrando a primeira igualdade:
O lado esquerdo, , é o complemento do interior de . O lado direito, , é o fecho do complemento de .

Passo 4

Sabemos que o complemento de um conjunto aberto é fechado e vice-versa. Como é aberto, é fechado. Além disso, é o complemento de , e o fecho de um conjunto fechado é ele mesmo. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos mostrar a segunda igualdade:
O lado esquerdo, , é o complemento do fecho de . O lado direito, , é o interior do complemento de .

Passo 6

Como é fechado, é aberto. O interior de é o maior conjunto aberto contido em . Mas também é aberto e está contido em , então:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo :

Exercícios relacionados

Calcular nos seguintes casos:
(m)
Se , calcule o valor da expressão .
O gás de um balão esférico escapa à razão de . Determinar a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, em função do raio (variável) do balão.
(Dados: Volume da esfera: ; área da esfera: )
Mostre que um conjunto é aberto se, e somente se,