Um gás A é dissolvido em líquido B contido em uma proveta de 10 mm de espessura. Ao se difundir, o gás sofre uma reação química de ordem zero irreversível. Obtenha a concentração molar de A em um ponto situado na metade da espessura do filme. Sabese que
e que para este caso,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gás A dissolvido no líquido B, que está em uma proveta com 10 mm de espessura. Quando o gás A se difunde através do líquido, ele sofre uma reação química de ordem zero que é irreversível. O objetivo é encontrar a concentração molar de A em um ponto que está exatamente na metade da espessura do filme, ou seja, a 5 mm de qualquer extremidade.
Conteúdos envolvidos:
- Difusão de substâncias
- Reações químicas de ordem zero
- Equações de transporte de massa
Dados fornecidos:
- Concentração inicial de A, $ C_{A0} = 0,4 , kmol/m^3 $
- Coeficiente de difusão, $ D_{AB} = 1,5 \times 10^{-8} , m^2/s $
- Taxa de reação, $ k_0 = 1,2 \times 10^{-4} , mol/(m^3 \cdot s) $
- Espessura da proveta, $ L = 10 , mm = 0,01 , m $
- Posição do ponto, $ x = 5 , mm = 0,005 , m $
Vamos precisar usar a equação que relaciona difusão e reação para encontrar a concentração em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a difusão e a reação afetam a concentração do gás A no líquido. A difusão tende a espalhar o gás A uniformemente no líquido, enquanto a reação consome o gás A conforme ele se difunde.
A equação que descreve o equilíbrio entre difusão e reação em estado estacionário (onde as concentrações não mudam com o tempo) é dada por:
Aqui:
- $ C_A $ é a concentração de A no ponto considerado.
- $ \frac{d^2 C_A}{dx^2} $ representa a difusão.
- $ \frac{k_0}{D_{AB}} C_A $ representa a reação de consumo.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem que podemos resolver para encontrar $ C_A $ em função de $ x $.
Passo 3
Vamos simplificar a equação diferencial:
Colocando os valores fornecidos:
Calculando o termo $ \frac{k_0}{D_{AB}} $:
Então, a equação fica:
A solução geral dessa equação diferencial é da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
As condições de contorno geralmente são:
- Na superfície onde o gás A entra no líquido (x = 0), a concentração é a concentração inicial $ C_{A0} $.
- Na outra superfície (x = L), a concentração tende a zero devido à reação irreversível.
Aplicando a primeira condição de contorno:
Aplicando a segunda condição de contorno:
Temos então um sistema de duas equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ A $ e $ B $.
Primeiro, note que $ \sqrt{8 \times 10^{3}} , L $ pode ser calculado:
Então, substituindo:
Sabendo que $ A = 0,4 - B $, podemos substituir na segunda equação:
Agora, resolvemos para $ B $:
Calculando numericamente:
Então, $ A = 0,4 - 0,480 = -0,080 , kmol/m^3 $
Passo 6
Agora que temos $ A $ e $ B $, podemos escrever a expressão completa para $ C_A(x) $:
Queremos encontrar a concentração na metade da espessura, ou seja, em $ x = 0,005 , m $:
Resposta
A concentração molar de A no ponto situado na metade da espessura do filme é aproximadamente $ 0,182 , kmol/m^3 $.