Um gás A é dissolvido em líquido B contido em uma proveta de 10 mm de espessura. Ao se difundir, o gás sofre uma reação química de ordem zero irreversível. Obtenha a concentração molar de A em um ponto situado na metade da espessura do filme. Sabese que CA 0=0,4 kmol / m^3 e que para este caso, DAB=1,5.10^-8 m^2 / s e k0=1,2 cdot 10^-4 mol /(m^3 s) Resp=0,2 Kmol / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gás A dissolvido no líquido B, que está em uma proveta com 10 mm de espessura. Quando o gás A se difunde através do líquido, ele sofre uma reação química de ordem zero que é irreversível. O objetivo é encontrar a concentração molar de A em um ponto que está exatamente na metade da espessura do filme, ou seja, a 5 mm de qualquer extremidade.
Conteúdos envolvidos:
  • Difusão de substâncias
  • Reações químicas de ordem zero
  • Equações de transporte de massa
Dados fornecidos:
  • Concentração inicial de A, $ C_{A0} = 0,4 , kmol/m^3 $
  • Coeficiente de difusão, $ D_{AB} = 1,5 \times 10^{-8} , m^2/s $
  • Taxa de reação, $ k_0 = 1,2 \times 10^{-4} , mol/(m^3 \cdot s) $
  • Espessura da proveta, $ L = 10 , mm = 0,01 , m $
  • Posição do ponto, $ x = 5 , mm = 0,005 , m $
Vamos precisar usar a equação que relaciona difusão e reação para encontrar a concentração em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a difusão e a reação afetam a concentração do gás A no líquido. A difusão tende a espalhar o gás A uniformemente no líquido, enquanto a reação consome o gás A conforme ele se difunde.
A equação que descreve o equilíbrio entre difusão e reação em estado estacionário (onde as concentrações não mudam com o tempo) é dada por:
d^2 CAdx^2 - k0DAB CA = 0
Aqui:
  • $ C_A $ é a concentração de A no ponto considerado.
  • $ \frac{d^2 C_A}{dx^2} $ representa a difusão.
  • $ \frac{k_0}{D_{AB}} C_A $ representa a reação de consumo.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem que podemos resolver para encontrar $ C_A $ em função de $ x $.

Passo 3

Vamos simplificar a equação diferencial:
d^2 CAdx^2 - k0DAB CA = 0
Colocando os valores fornecidos:
d^2 CAdx^2 - 1,2 times 10^-41,5 times 10^-8 CA = 0
Calculando o termo $ \frac{k_0}{D_{AB}} $:
k0DAB
Então, a equação fica:
1,2 times 10^-41,5 times 10^-8 = 8 times 10^3 , m^-2
A solução geral dessa equação diferencial é da forma:
d^2 CAdx^2 - 8 times 10^3 CA = 0
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
As condições de contorno geralmente são:
  1. Na superfície onde o gás A entra no líquido (x = 0), a concentração é a concentração inicial $ C_{A0} $.
  2. Na outra superfície (x = L), a concentração tende a zero devido à reação irreversível.
Aplicando a primeira condição de contorno:
A
Aplicando a segunda condição de contorno:
B
Temos então um sistema de duas equações:
CA0

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ A $ e $ B $.
Primeiro, note que $ \sqrt{8 \times 10^{3}} , L $ pode ser calculado:
A
B
Então, substituindo:
raiz8 times 10^3 , L
Sabendo que $ A = 0,4 - B $, podemos substituir na segunda equação:
raiz8 times 10^3 = raiz8000 approx 89,44 , m^-1
Agora, resolvemos para $ B $:
89,44 times 0,01 = 0,8944
A e^0,8944 + B e^-0,8944 = 0
A = 0,4 - B
Calculando numericamente:
(0,4 - B) e^0,8944 + B e^-0,8944 = 0
B
0,4 e^0,8944 - B e^0,8944 + B e^-0,8944 = 0
Então, $ A = 0,4 - 0,480 = -0,080 , kmol/m^3 $

Passo 6

Agora que temos $ A $ e $ B $, podemos escrever a expressão completa para $ C_A(x) $:
A
Queremos encontrar a concentração na metade da espessura, ou seja, em $ x = 0,005 , m $:
B
CA(x)
CA(x) = -0,080 , e^89,44 x + 0,480 , e^-89,44 x
x = 0,005 , m

Resposta

A concentração molar de A no ponto situado na metade da espessura do filme é aproximadamente $ 0,182 , kmol/m^3 $.

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