Um gás escoa em estado estacionário através de um tubo com seção transversal constante de 0,15 m^2 de seção transversal. Na entrada do tubo a pressão manométrica é 300 kPa , a densidade é 6 kg / m^3, e a velocidade média é 150 m / s. O fluido escoa com uma vazão mássica igual a 20 kg / s. Na saída do tubo a pressão absoluta é 350 kPa e a densidade é 2,75 kg / m^3. determine a força que o gás exerce sobre o tubo.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos fala sobre um gás que está escoando de forma constante (estado estacionário) por um tubo com seção transversal de . Na entrada do tubo, temos a pressão manométrica, a densidade e a velocidade média do gás. Também sabemos a vazão mássica. Na saída, a pressão absoluta e a densidade são fornecidas. Nosso objetivo é descobrir qual é a força que esse gás está exercendo no tubo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente o princípio da conservação da quantidade de movimento e as relações de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é vazão mássica. A vazão mássica ( dotm = rho cdot A cdot v ) é a quantidade de massa que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Ela é dada por:
Onde:
  • é a densidade do gás,
  • é a área da seção transversal,
  • é a velocidade média do gás.
Como a vazão mássica é constante no estado estacionário, podemos usar essa relação para encontrar informações adicionais sobre o escoamento.

Passo 3

Na entrada do tubo, temos:
  • Pressão manométrica: dotm = rho1 cdot A cdot v1 = 6 , kg/m^3 cdot 0,15 , m^2 cdot 150 , m/s = 135 , kg/s
  • Densidade:
  • Velocidade média:
  • Vazão mássica:
Vamos verificar se esses valores são consistentes usando a fórmula da vazão mássica:
Mas o enunciado diz que a vazão mássica é . Isso significa que há uma inconsistência nos dados ou que precisamos considerar algo a mais, como mudanças na densidade e velocidade na saída.

Passo 4

Na saída do tubo, temos:
  • Pressão absoluta: dotm = rho2 cdot A cdot v2 Rightarrow v2 = dotmrho2 cdot A = 202,75 cdot 0,15 approx 48,49 , m/s
  • Densidade:
Como a vazão mássica é constante, podemos calcular a velocidade na saída ( ) usando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força exercida pelo gás no tubo. Para isso, usamos a equação da quantidade de movimento:
F = dotm cdot (v2 - v1) + (P2 - P1) cdot A
Onde:
  • é a vazão mássica,
  • e são as velocidades na entrada e saída,
  • e são as pressões na entrada e saída,
  • é a área da seção transversal.
Observação: As pressões devem estar em termos absolutos para que a diferença faça sentido nesse contexto.

Passo 6

Vamos converter a pressão manométrica na entrada para absoluta. A pressão absoluta ( P1 = 300 , kPa + 100 , kPa = 400 , kPa ) é a soma da pressão manométrica ( P1 = 400 , kPa ) com a pressão atmosférica ( P2 = 350 , kPa ). Supondo que :
Agora, temos:

Passo 7

Vamos agora substituir todos os valores na fórmula da força:
F = dotm cdot (v2 - v1) + (P2 - P1) cdot A
F = 20 , kg/s cdot (48,49 , m/s - 150 , m/s) + (350 , kPa - 400 , kPa) cdot 0,15 , m^2
F = 20 cdot (-101,51) + (-50) cdot 0,15 times 10^3 , Pa cdot m^2
F = -2030,2 , N - 7500 , N = -9530,2 , N

Resposta

A força que o gás exerce sobre o tubo é de aproximadamente . O sinal negativo indica que a força está na direção contrária ao fluxo do gás.

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