Um transporte de fármaco adequado é feito através de uma pequena esfera de um material gelatinoso não tóxico que pode passar pelo sistema gastrointestinal sem se desintegrar. Um medicamento solúvel em água (soluto A) é uniformemente dissolvido dentro do gel, e tem uma concentração inicial,
de
. O fármaco carregado dentro da cápsula de gel esférica é o sumidouro da transferência de massa. Considere um caso no qual o fármaco é imediatamente consumido ou varrido assim que atinge a superfície, ou seja, @
.
a) Ao analisar o processo, escolha um sistema de coordenadas e simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
b) Quais hipóteses razoáveis foram utilizadas na sua simplificação da equação diferencial geral?
c) Simplifique a equação de Fick para as espécies de fármacos e obtenha uma equação diferencial em termos de concentração,
.
a) Ao analisar o processo, escolha um sistema de coordenadas e simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
b) Quais hipóteses razoáveis foram utilizadas na sua simplificação da equação diferencial geral?
c) Simplifique a equação de Fick para as espécies de fármacos e obtenha uma equação diferencial em termos de concentração,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de gelatina que carrega um medicamento (soluto A) com uma concentração inicial de
. O medicamento é consumido imediatamente ao atingir a superfície da esfera. O conteúdo da matéria aqui é transferência de massa, especificamente pela difusão do fármaco dentro da esfera gelificada. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Fick, que descreve como a concentração de uma substância muda com o tempo devido à difusão.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com uma esfera, o sistema de coordenadas esféricas é o mais apropriado. Nela, a difusão ocorre radialmente a partir do centro da esfera para a superfície. A equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial, é simplificada considerando apenas a dependência radial da concentração.
Passo 3
A equação diferencial geral para transferência de massa em coordenadas esféricas, sem considerar variações angulares e temporais (se estas forem desprezadas), fica:
Aqui,
é o fluxo radial do fármaco. Simplificando, a equação relaciona o fluxo com a variação radial da concentração.
Passo 4
Parte b) Para simplificar a equação diferencial geral, fizemos algumas hipóteses:
- Simetria Radial: Consideramos que a concentração depende apenas da distância radial
, e não dos ângulos ou do tempo inicialmente. - Estado Estacionário: Assumimos que a concentração não muda com o tempo, ou seja, atingiu-se um equilíbrio.
- Fluxo Radial Dominante: Ignoramos quaisquer fluxos nas direções angulares, focando apenas na direção radial.
- Consumo Imediato na Superfície: Consideramos que a concentração na superfície
é zero porque o fármaco é imediatamente consumido.
Passo 5
Parte c) Agora, vamos simplificar a equação de Fick para obter uma equação diferencial em termos da concentração
.
A Lei de Fick na direção radial é:
Onde
é o coeficiente de difusão do fármaco no gel.
Substituindo
na equação geral simplificada:
Isso resulta em:
Integrando uma vez:
Onde
é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por
:
Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração. Aplicando as condições de contorno, podemos determinar essas constantes, mas o importante aqui é termos uma equação diferencial que relaciona a concentração
com a posição radial
.
Resposta
A equação diferencial simplificada em termos da concentração
é:
Essa equação descreve como a concentração do fármaco varia radialmente dentro da esfera de gelatina.