Um transporte de fármaco adequado é feito através de uma pequena esfera de um material gelatinoso não tóxico que pode passar pelo sistema gastrointestinal sem se desintegrar. Um medicamento solúvel em água (soluto A) é uniformemente dissolvido dentro do gel, e tem uma concentração inicial, de . O fármaco carregado dentro da cápsula de gel esférica é o sumidouro da transferência de massa. Considere um caso no qual o fármaco é imediatamente consumido ou varrido assim que atinge a superfície, ou seja, @ .
a) Ao analisar o processo, escolha um sistema de coordenadas e simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
b) Quais hipóteses razoáveis foram utilizadas na sua simplificação da equação diferencial geral?
c) Simplifique a equação de Fick para as espécies de fármacos e obtenha uma equação diferencial em termos de concentração, .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de gelatina que carrega um medicamento (soluto A) com uma concentração inicial de . O medicamento é consumido imediatamente ao atingir a superfície da esfera. O conteúdo da matéria aqui é transferência de massa, especificamente pela difusão do fármaco dentro da esfera gelificada. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Fick, que descreve como a concentração de uma substância muda com o tempo devido à difusão.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com uma esfera, o sistema de coordenadas esféricas é o mais apropriado. Nela, a difusão ocorre radialmente a partir do centro da esfera para a superfície. A equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial, é simplificada considerando apenas a dependência radial da concentração.

Passo 3

A equação diferencial geral para transferência de massa em coordenadas esféricas, sem considerar variações angulares e temporais (se estas forem desprezadas), fica:
Aqui, é o fluxo radial do fármaco. Simplificando, a equação relaciona o fluxo com a variação radial da concentração.

Passo 4

Parte b) Para simplificar a equação diferencial geral, fizemos algumas hipóteses:
  1. Simetria Radial: Consideramos que a concentração depende apenas da distância radial , e não dos ângulos ou do tempo inicialmente.
  2. Estado Estacionário: Assumimos que a concentração não muda com o tempo, ou seja, atingiu-se um equilíbrio.
  3. Fluxo Radial Dominante: Ignoramos quaisquer fluxos nas direções angulares, focando apenas na direção radial.
  4. Consumo Imediato na Superfície: Consideramos que a concentração na superfície é zero porque o fármaco é imediatamente consumido.

Passo 5

Parte c) Agora, vamos simplificar a equação de Fick para obter uma equação diferencial em termos da concentração .
A Lei de Fick na direção radial é:
Onde é o coeficiente de difusão do fármaco no gel.
Substituindo na equação geral simplificada:
Isso resulta em:
Integrando uma vez:
Onde é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por :
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração. Aplicando as condições de contorno, podemos determinar essas constantes, mas o importante aqui é termos uma equação diferencial que relaciona a concentração com a posição radial .

Resposta

A equação diferencial simplificada em termos da concentração é:
Essa equação descreve como a concentração do fármaco varia radialmente dentro da esfera de gelatina.

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a) Indique três hipóteses relevantes para o processo de transferência de massa.
b) Com base em suas suposições, simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa da espécie , deixando equação em termos do fluxo .
c) Utilizando equações para o fluxo de A na sua equação determinada, expresse a equação diferencial geral em termos da concentração .
d) Especifique as condições de contorno relevantes para a concentração da fase gasosa .
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