n-C4 H10(g) i-C4 H10(g)
A fase gasosa acima dos canais contém uma mistura de A e B mantida a uma composição constante de 60 mol % n-C4 H10 (A) e 40 mol % i-C4 H10 (B). A espécie gasosa A difunde por um canal reto de diâmetro d=0,01 cm e comprimento L=2,0 cm. A base de cada canal é selada. Esta é uma reação rápida de modo que a taxa de produção de B é limitada por difusão. O espaço de gás quiescente no canal consiste apenas de espécies A e B.
a) Indique três hipóteses relevantes para o processo de transferência de massa.
b) Com base em suas suposições, simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa da espécie A, deixando equação em termos do fluxo NA.
c) Utilizando equações para o fluxo de A na sua equação determinada, expresse a equação diferencial geral em termos da concentração cA.
d) Especifique as condições de contorno relevantes para a concentração da fase gasosa cA.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos uma reação química onde o n-butano gasoso ( n-C4H10) está se transformando em isobutano ( i-C4H10) dentro de um canal estreito. A concentração de n-C4H10 é de 60 mol% e a de i-C4H10 é de 40 mol%. A reação é rápida, então a taxa de produção de B ( i-C4H10) é limitada pela difusão de A ( n-C4H10). Para resolver as questões, vamos precisar entender os princípios de transferência de massa, especialmente a difusão de gases e as equações que descrevem esse processo.

Passo 2

a) Indique três hipóteses relevantes para o processo de transferência de massa.

Para simplificar e modelar o processo de transferência de massa neste sistema, fazemos algumas suposições ou hipóteses. Três hipóteses relevantes são:
  1. Estado Estacionário (Steady-State):
    • Explicação: Assumimos que as concentrações de A e B dentro do canal não mudam com o tempo. Isso significa que a taxa de entrada de A é igual à taxa de saída mais a taxa de consumo pela reação.
  2. Difusão Unidimensional:
    • Explicação: Consideramos que a difusão ocorre apenas ao longo do comprimento do canal ( L), ignorando qualquer variação radial ou tangencial. Isso simplifica as equações de difusão, tornando-as unidimensionais.
  3. Reação Rápida Limitada pela Difusão:
    • Explicação: A reação de conversão de A em B é muito rápida, de modo que a quantidade de A que chega ao local da reação é o fator limitante. Portanto, a taxa de produção de B depende unicamente da taxa de difusão de A.

Passo 3

b) Simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa da espécie A, deixando a equação em termos do fluxo NA.

Teoria Aplicada:
A transferência de massa pode ser descrita pela equação de balanço de massa. Considerando o estado estacionário e difusão unidimensional, a equação geral se simplifica significativamente.
Passos de Resolução:
  1. Balanço de Massa para a Espécie A:
    Em estado estacionário, a variação da concentração de A ao longo do canal é nula. Portanto, a divergência do fluxo é igual à taxa de geração de A.
    dNAdx = -rA
    Onde:
    • NA é o fluxo de A.
    • rA é a taxa de consumo de A pela reação.
  2. Considerando que a Reação é Limitada pela Difusão:
    A taxa de consumo de A ( rA) é igual à taxa de produção de B, já que cada molécula de A que reage forma uma molécula de B.
    Porém, como a reação é rápida, a taxa de produção de B está limitada pela disponibilidade de A que difunde para o local da reação. Assim, podemos considerar que a taxa de geração de A é zero no longo alcance, já que todo A que chega reage instantaneamente.
  3. Simplificação da Equação:
    Dado que não há geração de A além da entrada inicial, a equação se reduz a:
    dNAdx = 0
    Isso implica que o fluxo NA é constante ao longo do canal.

Passo 4

c) Utilizando equações para o fluxo de A na sua equação determinada, expresse a equação diferencial geral em termos da concentração cA.

Teoria Aplicada:
A Lei de Fick descreve o fluxo de uma espécie química devido à difusão. Ela relaciona o fluxo ao gradiente de concentração.
Passos de Resolução:
  1. Lei de Fick para o Fluxo de A:
    NA = -DA dcAdx
    Onde:
    • DA é o coeficiente de difusão de A.
    • dcAdx é o gradiente de concentração de A.
  2. Substituindo na Equação Simplificada:
    Da parte b), tínhamos dNAdx = 0. Substituindo a Lei de Fick:
    ddx ( -DA dcAdx ) = 0
  3. Simplificando a Equação Diferencial:
    d^2 cAdx^2 = 0
    Isso indica que a segunda derivada da concentração de A em relação a x é zero, ou seja, o perfil de concentração de A é linear ao longo do canal.

Passo 5

d) Especifique as condições de contorno relevantes para a concentração da fase gasosa cA.

Teoria Aplicada:
Condições de contorno são necessárias para resolver a equação diferencial e encontrar a distribuição de concentração de A ao longo do canal.
Passos de Resolução:
  1. Condição na Entrada do Canal ( x=0):
    No início do canal, a concentração de A é conhecida e igual à composição da mistura:
    cA(0) = 0,60 , mol/cm^3
  2. Condição na Saída do Canal ( x=L):
    A base do canal é selada, o que significa que não há fluxo de A além do comprimento L. Portanto:
    NA(L) = 0
    Substituindo a Lei de Fick:
    -DA dcAdx|x=L = 0
    Isso implica que o gradiente de concentração de A na saída é zero:
    dcAdx|x=L = 0

Resposta

Seguindo os passos acima, resolvemos cada parte do exercício:
a) Três hipóteses relevantes são:
  1. Estado estacionário.
  2. Difusão unidimensional.
  3. Reação rápida limitada pela difusão.
b) Equação simplificada em termos do fluxo NA:
dNAdx = 0
c) Equação diferencial geral em termos da concentração cA:
d^2 cAdx^2 = 0
d) Condições de contorno para cA:
  1. Na entrada ( x=0): cA(0) = 0,60 , mol/cm^3.
  2. Na saída ( x=L): dcAdx|x=L = 0.
Essas soluções fornecem uma compreensão clara do processo de transferência de massa no sistema descrito, utilizando as suposições estabelecidas e aplicando os princípios de difusão e balanço de massa.

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