A fase gasosa acima dos canais contém uma mistura de A e B mantida a uma composição constante de (A) e (B). A espécie gasosa A difunde por um canal reto de diâmetro e comprimento . A base de cada canal é selada. Esta é uma reação rápida de modo que a taxa de produção de B é limitada por difusão. O espaço de gás quiescente no canal consiste apenas de espécies e .
a) Indique três hipóteses relevantes para o processo de transferência de massa.
b) Com base em suas suposições, simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa da espécie , deixando equação em termos do fluxo .
c) Utilizando equações para o fluxo de A na sua equação determinada, expresse a equação diferencial geral em termos da concentração .
d) Especifique as condições de contorno relevantes para a concentração da fase gasosa .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos uma reação química onde o n-butano gasoso () está se transformando em isobutano () dentro de um canal estreito. A concentração de é de 60 mol% e a de é de 40 mol%. A reação é rápida, então a taxa de produção de () é limitada pela difusão de (). Para resolver as questões, vamos precisar entender os princípios de transferência de massa, especialmente a difusão de gases e as equações que descrevem esse processo.
Passo 2
a) Indique três hipóteses relevantes para o processo de transferência de massa.
Para simplificar e modelar o processo de transferência de massa neste sistema, fazemos algumas suposições ou hipóteses. Três hipóteses relevantes são:
Estado Estacionário (Steady-State):
Explicação: Assumimos que as concentrações de e dentro do canal não mudam com o tempo. Isso significa que a taxa de entrada de é igual à taxa de saída mais a taxa de consumo pela reação.
Difusão Unidimensional:
Explicação: Consideramos que a difusão ocorre apenas ao longo do comprimento do canal (), ignorando qualquer variação radial ou tangencial. Isso simplifica as equações de difusão, tornando-as unidimensionais.
Reação Rápida Limitada pela Difusão:
Explicação: A reação de conversão de em é muito rápida, de modo que a quantidade de que chega ao local da reação é o fator limitante. Portanto, a taxa de produção de depende unicamente da taxa de difusão de .
Passo 3
b) Simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa da espécie , deixando a equação em termos do fluxo .
Teoria Aplicada:
A transferência de massa pode ser descrita pela equação de balanço de massa. Considerando o estado estacionário e difusão unidimensional, a equação geral se simplifica significativamente.
Passos de Resolução:
Balanço de Massa para a Espécie :
Em estado estacionário, a variação da concentração de ao longo do canal é nula. Portanto, a divergência do fluxo é igual à taxa de geração de .
Onde:
é o fluxo de .
é a taxa de consumo de pela reação.
Considerando que a Reação é Limitada pela Difusão:
A taxa de consumo de () é igual à taxa de produção de , já que cada molécula de que reage forma uma molécula de .
Porém, como a reação é rápida, a taxa de produção de está limitada pela disponibilidade de que difunde para o local da reação. Assim, podemos considerar que a taxa de geração de é zero no longo alcance, já que todo que chega reage instantaneamente.
Simplificação da Equação:
Dado que não há geração de além da entrada inicial, a equação se reduz a:
Isso implica que o fluxo é constante ao longo do canal.
Passo 4
c) Utilizando equações para o fluxo de na sua equação determinada, expresse a equação diferencial geral em termos da concentração .
Teoria Aplicada:
A Lei de Fick descreve o fluxo de uma espécie química devido à difusão. Ela relaciona o fluxo ao gradiente de concentração.
Passos de Resolução:
Lei de Fick para o Fluxo de :
Onde:
é o coeficiente de difusão de .
é o gradiente de concentração de .
Substituindo na Equação Simplificada:
Da parte b), tínhamos . Substituindo a Lei de Fick:
Simplificando a Equação Diferencial:
Isso indica que a segunda derivada da concentração de em relação a é zero, ou seja, o perfil de concentração de é linear ao longo do canal.
Passo 5
d) Especifique as condições de contorno relevantes para a concentração da fase gasosa .
Teoria Aplicada:
Condições de contorno são necessárias para resolver a equação diferencial e encontrar a distribuição de concentração de ao longo do canal.
Passos de Resolução:
Condição na Entrada do Canal ():
No início do canal, a concentração de é conhecida e igual à composição da mistura:
Condição na Saída do Canal ():
A base do canal é selada, o que significa que não há fluxo de além do comprimento . Portanto:
Substituindo a Lei de Fick:
Isso implica que o gradiente de concentração de A na saída é zero:
dcAdx|x=L = 0
Resposta
Seguindo os passos acima, resolvemos cada parte do exercício:
a) Três hipóteses relevantes são:
Estado estacionário.
Difusão unidimensional.
Reação rápida limitada pela difusão.
b) Equação simplificada em termos do fluxo NA:
dNAdx = 0
c) Equação diferencial geral em termos da concentração cA:
d^2 cAdx^2 = 0
d) Condições de contorno para cA:
Na entrada (x=0): cA(0) = 0,60 , mol/cm^3.
Na saída (x=L): dcAdx|x=L = 0.
Essas soluções fornecem uma compreensão clara do processo de transferência de massa no sistema descrito, utilizando as suposições estabelecidas e aplicando os princípios de difusão e balanço de massa.