Reduza a equação diferencial geral para transferência de massa a fim de escrever a equação diferencial específica para uma:
a) transferência de oxigênio para o lago sem a presença de uma reação química;
b) transferência de oxigênio para o lago, a qual ocorre com o desaparecimento simultâneo de oxigênio por uma reação biológica de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para reduzir a equação diferencial geral para transferência de massa e adaptá-la para dois casos específicos envolvendo a transferência de oxigênio para um lago. O conteúdo aqui envolve conceitos de transferência de massa e reações químicas de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transferência de massa funciona e como as reações afetam essa transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação diferencial geral para transferência de massa. Geralmente, ela é dada por:
íçã
Aqui, é a concentração do soluto (no nosso caso, o oxigênio) no lago, é o tempo, e as taxas representam como o oxigênio está entrando, saindo e reagindo no sistema.

Passo 3

No caso a), não temos reação química, então a taxa de reação é zero. Isso simplifica a nossa equação para:
í
Agora, precisamos expressar as taxas de entrada e saída em termos matemáticos.

Passo 4

A Taxa de Entrada de oxigênio pode ser representada pela transferência massica, que é proporcional à diferença de concentração entre a fonte de oxigênio (como a atmosfera) e o lago. Isso é dado por:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de massa.
  • é a concentração de oxigênio na fonte.
A Taxa de Saída pode ser representada pela taxa de mistura ou ventilação do lago, que também é proporcional à concentração atual de oxigênio:
í
Onde é a constante de decaimento ou diluição.

Passo 5

Substituindo essas taxas na nossa equação simplificada:
Podemos reorganizar os termos para ficar mais claro:
Essa é a equação diferencial específica para a transferência de oxigênio para o lago sem reação química.

Passo 6

Agora, vamos para o caso b), onde além da transferência de oxigênio, ele também é consumido por uma reação biológica de primeira ordem. Isso significa que a taxa de reação depende diretamente da concentração de oxigênio.
A Taxa de Reação é então:
çã
Onde é a constante de reação.

Passo 7

Voltando à nossa equação diferencial geral:
íçã
Substituindo as taxas que já encontramos e a nova taxa de reação:

Passo 8

Vamos reorganizar os termos semelhantes:
Essa é a equação diferencial específica para a transferência de oxigênio para o lago com uma reação biológica de primeira ordem.

Resposta

A equação diferencial específica para:
a) Sem reação química:
b) Com reação biológica de primeira ordem:

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b)
c)
d)
e)
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