Um gás ideal monoatômico, com uma pressâo inicial de Pa e um volume inicial de , sofre uma compressāo adiabática até um volume igual a .
(a) Qual é a pressão final?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um gás ideal monoatômico que passa por uma compressão adiabática. Isso significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. A gente precisa encontrar a pressão final desse gás após a compressão. Para isso, vamos usar as leis dos gases ideais e entender como a pressão e o volume se relacionam em uma compressão adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma compressão adiabática. Em uma compressão adiabática, o processo acontece sem troca de calor (Q = 0) com o ambiente. Isso implica que a energia fornecida para comprimir o gás aumenta a sua pressão e temperatura. A relação entre pressão e volume nesse tipo de processo é dada pela equação:
Onde:
  • e são a pressão e o volume iniciais.
  • e são a pressão e o volume finais.
  • é o índice adiabático, que depende do tipo de gás.

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de para um gás monoatômico. Para gases monoatômicos, o índice adiabático é igual a . Isso ocorre porque esses gases têm apenas três graus de liberdade (movimento nos três eixos espaciais).

Passo 4

Vamos organizar os dados que temos:
  • Pressão inicial, Pa
  • Volume inicial,
  • Volume final,
Queremos encontrar a pressão final . Usando a equação da compressão adiabática:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, calculamos a razão :

Passo 6

Agora, elevamos essa razão ao poder de :
Para calcular , podemos pensar assim:
(Dupla precisão dessa potência daria aproximadamente 4, mas para maior precisão, usar uma calculadora daria um valor mais exato, cerca de 3,1748.)

Passo 7

Agora, multiplicamos esse valor pela pressão inicial:

Resposta

A pressão final do gás após a compressão adiabática é aproximadamente Pa.

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Um gás ideal monoatômico, com uma pressâo inicial de Pa e um volume inicial de , sofre uma compressāo adiabática até um volume igual a .
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