Um gás ideal monoatômico, com uma pressâo inicial de 1,50 times 10^5 Pa e um volume inicial de 0,1 m^3, sofre uma compressāo adiabática até um volume igual a 0,05 m^3.
(b) Quat é o trabalho realizado pelo gás nesse processo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal monoatômico com uma pressão inicial de Pa e um volume inicial de . Esse gás sofre uma compressão adiabática até que o volume final seja . Precisamos descobrir qual foi o trabalho realizado pelo gás nesse processo.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de processos adiabáticos em gases ideais. Sabemos que em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, então toda a variação de energia está relacionada ao trabalho realizado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
P V^gamma = constante
Onde é o índice adiabático, que para um gás monoatômico é .

Passo 3

Queremos calcular o trabalho realizado pelo gás, que é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralV1^V2 P , dV
Como sabemos que P = P1 ( V1V )^gamma , podemos expressar a pressão W = integralV1^V2 P1 ( V1V )^gamma dV em função de :
Substituindo essa expressão na integral do trabalho, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
W = P1 V1^gamma integralV1^V2 V^-gamma dV
Integrando integral V^-gamma dV = V^1 - gamma1 - gamma :
W = P1 V1^gamma1 - gamma [ V2^1 - gamma - V1^1 - gamma ]
Então, substituindo os limites de integração:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • W = 1,50 times 10^5 times (0,1)^531 - 53 [ (0,05)^1 - 53 - (0,1)^1 - 53 ]
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar os expoentes:
1 - 53 = -23
Então:
W = 1,50 times 10^5 times (0,1)^53-23 [ (0,05)^-23 - (0,1)^-23 ]
Simplificando ainda mais:
W = -32 times 1,50 times 10^5 times (0,1)^53 [ (0,05)^-23 - (0,1)^-23 ]

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
(0,1)^53 approx 0,1^1,6667 approx 0,02154
(0,05)^-23 approx (0,05)^-0,6667 approx 4,6416
(0,1)^-23 approx (0,1)^-0,6667 approx 2,1544
Substituindo:
W = -32 times 1,50 times 10^5 times 0,02154 times (4,6416 - 2,1544)
W = -32 times 1,50 times 10^5 times 0,02154 times 2,4872
W approx -32 times 1,50 times 10^5 times 0,02154 times 2,4872 approx -4.800 , J

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante o processo de compressão adiabática é de aproximadamente .

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