Um gás ideal percorre um ciclo de Carnot, formado por a) uma expansão isotérmica
a uma temperatura
uma expansão adiabática
, c) uma compressão isotérmica
a uma temperatura
e d) uma compressão adiabática
. Mostre que os volumes e as pressões dos quatro estados
e
, satisfazem as relações
e
. Calcule o trabalho realizado e o calor trocado em cada trecho do ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot para um gás ideal. O que o problema pede é para mostrar que as relações entre os volumes e pressões nos quatro estados
e
são
e
. Além disso, precisamos calcular o trabalho realizado e o calor trocado em cada etapa do ciclo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as transformações isotérmicas e adiabáticas, além das leis dos gases ideais.
Passo 2
Vamos começar entendendo as transformações do ciclo de Carnot:
- Expansão Isotérmica (AB) a temperatura
: Aqui, o gás se expande mantendo a temperatura constante. - Expansão Adiabática (BC): O gás continua a se expandir, mas sem troca de calor com o ambiente, ou seja,
. - Compressão Isotérmica (CD) a temperatura
: O gás é comprimido mantendo a temperatura constante. - Compressão Adiabática (DA): O gás é comprimido novamente sem troca de calor.
Nos estados
e
, temos diferentes volumes e pressões que vamos relacionar.
Passo 3
Primeiro, vamos relacionar os volumes e pressões. Nas transformações isotérmicas de um gás ideal, a relação
mantém-se constante porque a temperatura
é constante. Para a expansão adiabática, usamos a relação
, onde
.
No ponto
ao
(expansão isotérmica):
Do ponto
ao
(compressão isotérmica):
Passo 4
Agora, vamos considerar a transformação adiabática de
a
e de
a
:
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Como
e
, substituímos:
Simplificando e rearranjando os termos, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado e o calor trocado em cada etapa.
-
Expansão Isotérmica (AB):
- Trabalho:
- Calor:
(pois para isotérmica)
- Trabalho:
-
Expansão Adiabática (BC):
- Trabalho:
- Calor:
(adiabática)
- Trabalho:
-
Compressão Isotérmica (CD):
- Trabalho:
- Calor:
(pois para isotérmica)
- Trabalho:
-
Compressão Adiabática (DA):
- Trabalho:
- Calor:
(adiabática)
- Trabalho:
Resposta
As relações entre os volumes e pressões nos estados
e
são
e
. Os trabalhos realizados e os calores trocados em cada etapa do ciclo de Carnot são:
- AB:
, - BC:
, - CD:
, - DA:
,