Um gás ideal percorre um ciclo de Carnot, formado por a) uma expansão isotérmica (A B) a uma temperatura T1, b) uma expansão adiabática (B C), c) uma compressão isotérmica (C D) a uma temperatura T2 e d) uma compressão adiabática (D A). Mostre que os volumes e as pressões dos quatro estados A, B, C e D, satisfazem as relações VCVD=VBVA e pCpD=pBpA. Calcule o trabalho realizado e o calor trocado em cada trecho do ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot para um gás ideal. O que o problema pede é para mostrar que as relações entre os volumes e pressões nos quatro estados e são e . Além disso, precisamos calcular o trabalho realizado e o calor trocado em cada etapa do ciclo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como as transformações isotérmicas e adiabáticas, além das leis dos gases ideais.

Passo 2

Vamos começar entendendo as transformações do ciclo de Carnot:
  1. Expansão Isotérmica (AB) a temperatura : Aqui, o gás se expande mantendo a temperatura constante.
  2. Expansão Adiabática (BC): O gás continua a se expandir, mas sem troca de calor com o ambiente, ou seja, .
  3. Compressão Isotérmica (CD) a temperatura : O gás é comprimido mantendo a temperatura constante.
  4. Compressão Adiabática (DA): O gás é comprimido novamente sem troca de calor.
Nos estados e , temos diferentes volumes e pressões que vamos relacionar.

Passo 3

Primeiro, vamos relacionar os volumes e pressões. Nas transformações isotérmicas de um gás ideal, a relação PA VA = PB VB mantém-se constante porque a temperatura PC VC = PD VD é constante. Para a expansão adiabática, usamos a relação , onde .
No ponto ao (expansão isotérmica):
Do ponto ao (compressão isotérmica):

Passo 4

Agora, vamos considerar a transformação adiabática de PB VB^gamma = PC VC^gamma a PD VD^gamma = PA VA^gamma e de PB VB^gammaPD VD^gamma = PC VC^gammaPA VA^gamma a PBPD (VBVD)^gamma = PCPA (VCVA)^gamma :
VCVD = VBVA
PCPD = PBPA
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Como e , substituímos:
Simplificando e rearranjando os termos, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado e o calor trocado em cada etapa.
  1. Expansão Isotérmica (AB):
    • Trabalho:
    • Calor: (pois para isotérmica)
  2. Expansão Adiabática (BC):
    • Trabalho:
    • Calor: (adiabática)
  3. Compressão Isotérmica (CD):
    • Trabalho:
    • Calor: (pois para isotérmica)
  4. Compressão Adiabática (DA):
    • Trabalho:
    • Calor: (adiabática)

Resposta

As relações entre os volumes e pressões nos estados e são e . Os trabalhos realizados e os calores trocados em cada etapa do ciclo de Carnot são:
  • AB: ,
  • BC: ,
  • CD: ,
  • DA: ,

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