Quando um gás ideal sofre uma modificação de temperatura a volume constante, a sua energia se altera de
.
b) Mostrar explicitamente que op resultado vale para a expansão isobárica de um gás ideal calculando o trabalho efetuado, mostrando que este pode ser escrito como
e depois entrando na equação
.
b) Mostrar explicitamente que op resultado vale para a expansão isobárica de um gás ideal calculando o trabalho efetuado, mostrando que este pode ser escrito como
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a fórmula da variação da energia interna,
, também vale para uma expansão isobárica (a pressão é constante) de um gás ideal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como trabalho realizado pelo gás, calor absorvido e as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho (
) realizado durante uma expansão isobárica. O trabalho em termodinâmica é dado pela fórmula:
Como a pressão (
) é constante, podemos relacionar a mudança de volume (
) com a variação de temperatura (
) usando a equação dos gases ideais:
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Então, substituindo na expressão do trabalho:
Passo 3
Agora, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna (
), o calor trocado (
) e o trabalho realizado (
):
Para uma expansão isobárica, o calor fornecido ao sistema é:
Substituindo
e
na equação da primeira lei:
Passo 4
Sabemos que para um gás ideal, as capacidades térmicas estão relacionadas por:
Vamos substituir
na equação da variação da energia interna:
Simplificando:
Aqui, notamos que houve um erro na substituição anterior. Na verdade, a relação correta para capacidades térmicas em mols é:
Então, se considerarmos
e
por mol, a equação fica:
Resposta
Mostramos que, para uma expansão isobárica de um gás ideal, a variação da energia interna é
, confirmando que a fórmula é válida também nesse processo.