Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A compressibilidade adiabática e:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma fórmula que relaciona a compressibilidade adiabática de um gás perfeito com outras propriedades como volume , pressão e a razão das capacidades caloríficas . Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e propriedades de gases perfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é compressibilidade adiabática. A compressibilidade adiabática mede o quanto o volume de um gás muda com a pressão quando não há troca de calor com o ambiente (processo adiabático). A fórmula dada é:
Aqui, representa a derivada do volume em relação à pressão mantendo a entropia constante.

Passo 3

Sabemos que, para um gás perfeito em um processo adiabático, a relação entre pressão e volume é dada por:
onde é a razão das capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante .

Passo 4

Vamos derivar essa relação para encontrar . Começamos diferenciando a equação :
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão da compressibilidade adiabática:

Resposta

Portanto, demonstramos que a compressibilidade adiabática é:

Exercícios relacionados

Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A entropia é dada por:
Deduza:
Determine a variação de entropia de um corpo quando é colocado em contato térmico com um reservatório térmico à temperatura . Suponha que inicialmente o corpo esteja a uma temperatura e que a capacidade térmica isocórica do corpo seja constante. Determine também o máximo de trabalho que se pode obter quando o corpo passa do estado inicial ao estado de equilíbrio com o reservatório.
Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de uma função genérica :