Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A compressibilidade adiabática e:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma fórmula que relaciona a compressibilidade adiabática de um gás perfeito com outras propriedades como volume
, pressão
e a razão das capacidades caloríficas
. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e propriedades de gases perfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é compressibilidade adiabática. A compressibilidade adiabática
mede o quanto o volume de um gás muda com a pressão quando não há troca de calor com o ambiente (processo adiabático). A fórmula dada é:
Aqui,
representa a derivada do volume em relação à pressão mantendo a entropia
constante.
Passo 3
Sabemos que, para um gás perfeito em um processo adiabático, a relação entre pressão e volume é dada por:
onde
é a razão das capacidades caloríficas a pressão constante
e a volume constante
.
Passo 4
Vamos derivar essa relação para encontrar
. Começamos diferenciando a equação
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da compressibilidade adiabática:
Resposta
Portanto, demonstramos que a compressibilidade adiabática é: