Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A compressibilidade adiabática e:
k s=-1V(partial Vpartial P)S=1gamma P

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma fórmula que relaciona a compressibilidade adiabática de um gás perfeito com outras propriedades como volume , pressão e a razão das capacidades caloríficas . Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e propriedades de gases perfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é compressibilidade adiabática. A compressibilidade adiabática ks = -1V ( partial Vpartial P )S mede o quanto o volume de um gás muda com a pressão quando não há troca de calor com o ambiente (processo adiabático). A fórmula dada é:
Aqui, representa a derivada do volume em relação à pressão mantendo a entropia constante.

Passo 3

Sabemos que, para um gás perfeito em um processo adiabático, a relação entre pressão e volume é dada por:
PV^gamma = constante
onde é a razão das capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante .

Passo 4

Vamos derivar essa relação para encontrar d(PV^gamma) = 0 . Começamos diferenciando a equação V^gamma dP + P gamma V^gamma -1 dV = 0 :
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Isolando V^gamma dP = -P gamma V^gamma -1 dV :
dVdP = -Vgamma P
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, substituímos ks = -1V ( -Vgamma P ) = 1gamma P na expressão da compressibilidade adiabática:

Resposta

Portanto, demonstramos que a compressibilidade adiabática é:
ks = 1gamma P

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