Num gás de Van der Waals, o ponto crítico é localizado em
e
. Mostre que a equação de estado, quando escrita em termos das variáveis
,
e
, é independente da substância:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o gás de Van der Waals e nos dá os valores do ponto crítico: volume crítico $ V_c = 3b $, temperatura crítica $ T_c = \frac{8a}{27Rb} $ e pressão crítica $ P_c = \frac{a}{27b^{2}} $. Nosso objetivo é mostrar que, ao reescrever a equação de estado do Van der Waals em termos das variáveis adimensionais $ P’ = \frac{P}{P_c} $, $ T’ = \frac{T}{T_c} $ e $ V’ = \frac{V}{V_c} $, a equação resultante não depende da substância. Para isso, vamos precisar usar a equação de Van der Waals e fazer algumas substituições matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals, que é uma versão ajustada da equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as interações entre elas. A equação é:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases e $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás.
Passo 3
Nosso objetivo é reescrever essa equação em termos de $ P’ $, $ T’ $ e $ V’ $. Para isso, vamos substituir cada variável original por sua versão adimensional:
Passo 4
Substituindo essas relações na equação de Van der Waals, temos:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 5
Vamos simplificar o termo dentro dos parênteses:
E o outro termo:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos lembrar das expressões dos pontos críticos:
Vamos substituir $ P_c $ e $ T_c $ na equação:
Passo 7
Simplificando os termos:
Do lado esquerdo:
Multiplicando por $ b (3 V’ - 1) $:
Do lado direito:
Passo 8
Agora, igualamos os dois lados:
Podemos cancelar $ \frac{a}{27b} $ dos dois lados:
Resposta
A equação de estado, expressa em termos de $ P’ $, $ V’ $ e $ T’ $, fica:
Isso mostra que a equação é independente da substância.