Num gás de Van der Waals, o ponto crítico é localizado em Vc=3 b, Tc=8 a / 27 R b e Pc=a / 27 b^2. Mostre que a equação de estado, quando escrita em termos das variáveis P^prime=P / Pc, T^prime=T / Tc e V^prime=V / Vc, é independente da substância:
(P^prime+3V^prime 2)(3 V^prime-1)=8 T^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o gás de Van der Waals e nos dá os valores do ponto crítico: volume crítico $ V_c = 3b $, temperatura crítica $ T_c = \frac{8a}{27Rb} $ e pressão crítica $ P_c = \frac{a}{27b^{2}} $. Nosso objetivo é mostrar que, ao reescrever a equação de estado do Van der Waals em termos das variáveis adimensionais $ P’ = \frac{P}{P_c} $, $ T’ = \frac{T}{T_c} $ e $ V’ = \frac{V}{V_c} $, a equação resultante não depende da substância. Para isso, vamos precisar usar a equação de Van der Waals e fazer algumas substituições matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals, que é uma versão ajustada da equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as interações entre elas. A equação é:
(P + aV^2)(V - b) = RT
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ T $ é a temperatura, $ R $ é a constante dos gases e $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás.

Passo 3

Nosso objetivo é reescrever essa equação em termos de $ P’ $, $ T’ $ e $ V’ $. Para isso, vamos substituir cada variável original por sua versão adimensional:
P'
T'
V'

Passo 4

Substituindo essas relações na equação de Van der Waals, temos:
(P' Pc + a(V' Vc)^2)(V' Vc - b) = R (T' Tc)
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 5

Vamos simplificar o termo dentro dos parênteses:
P' Pc + aV'^2 Vc^2 = P' Pc + aV'^2 cdot (3b)^2 = P' Pc + a9b^2 V'^2
E o outro termo:
V' Vc - b = V' cdot 3b - b = 3b V' - b = b (3 V' - 1)
Substituindo de volta na equação:
(P' Pc + a9b^2 V'^2) b (3 V' - 1) = R T' Tc

Passo 6

Agora, vamos lembrar das expressões dos pontos críticos:
Tc = 8a27Rb
Pc = a27b^2
Vc = 3b
Vamos substituir $ P_c $ e $ T_c $ na equação:
Pc

Passo 7

Simplificando os termos:
Do lado esquerdo:
P' cdot a27b^2 + a9b^2 V'^2 = a27b^2 P' + a9b^2 V'^2 = a27b^2 (P' + 3 cdot 1V'^2)
Multiplicando por $ b (3 V’ - 1) $:
b (3 V' - 1)
Do lado direito:
a27b^2 (P' + 3V'^2) cdot b (3 V' - 1) = a27b (P' + 3V'^2) (3 V' - 1)

Passo 8

Agora, igualamos os dois lados:
a27b (P' + 3V'^2) (3 V' - 1) = 8a27b T'
Podemos cancelar $ \frac{a}{27b} $ dos dois lados:
a27b

Resposta

A equação de estado, expressa em termos de $ P’ $, $ V’ $ e $ T’ $, fica:
P'
Isso mostra que a equação é independente da substância.

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