Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em
.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à montanha, que é representada pela função
, e que passe pelo observador que está no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivada para achar a inclinação da tangente e depois construir a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a derivada da função naquele ponto. Então, precisamos achar a derivada de
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, suponha que a reta tangente toca a montanha em um ponto
. A inclinação dessa reta é
.
A equação da reta tangente nesse ponto é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 4
Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo observador em
. Então, vamos substituir
e
na equação da reta:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Primeiro, expanda o lado direito:
Agora, mova todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 7
Mas atenção! O domínio da montanha é
. O valor
está fora desse intervalo, então descartamos essa solução.
Portanto,
.
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 9
A inclinação da reta tangente é:
Agora, usamos a fórmula da reta:
Resposta
A equação da reta tangente à montanha que passa pelo observador
é:
Exercícios relacionados
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule em termos da derivada
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição
.
© Determine a posição
Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
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e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou
a concentração está variando mais rapidamente.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes