Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à montanha, que é representada pela função , e que passe pelo observador que está no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivada para achar a inclinação da tangente e depois construir a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a derivada da função naquele ponto. Então, precisamos achar a derivada de .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, suponha que a reta tangente toca a montanha em um ponto . A inclinação dessa reta é .
A equação da reta tangente nesse ponto é dada por:
Substituindo e :

Passo 4

Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo observador em . Então, vamos substituir e na equação da reta:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Primeiro, expanda o lado direito:
Agora, mova todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 7

Mas atenção! O domínio da montanha é . O valor está fora desse intervalo, então descartamos essa solução.
Portanto, .

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 9

A inclinação da reta tangente é:
Agora, usamos a fórmula da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à montanha que passa pelo observador é:

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(a) Usando as regras de derivação, calcule em termos da derivada .
Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
© Determine a posição em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posição .
Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
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© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou a concentração está variando mais rapidamente.