Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gato começando no ponto
e um rato na origem
. Quando o gato começa a perseguir o rato, o rato sai correndo para cima no eixo
com metade da velocidade do gato. A trajetória do gato é uma curva de perseguição, que no nosso caso é dada pela função
no intervalo de
de 0 a 1. A gente precisa calcular o espaço total que o rato percorre antes de ser pego pelo gato. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos retilíneos e como relacionar velocidade, tempo e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quanto tempo o rato leva para ser capturado pelo gato. Sabemos que o gato está se movendo ao longo da curva de perseguição até o ponto final
. Nesse intervalo, o tempo que o gato leva para ir de
a
é igual a 1 unidade de tempo, assumindo que a velocidade do gato seja
.
Passo 3
Agora, sabendo que o rato está se movendo para cima com uma velocidade que é metade da do gato, ou seja,
, podemos calcular a distância total que o rato percorre durante esse tempo. Como o rato começa a correr no mesmo instante em que o gato começa a perseguição, o tempo total que o rato está correndo é o mesmo que o gato leva para alcançá-lo, que é 1 unidade de tempo.
Passo 4
Para encontrar o espaço percorrido pelo rato, usamos a fórmula básica da física:
Substituindo os valores que temos:
Como estamos considerando
unidade de velocidade (para simplificar), a distância percorrida pelo rato é:
Resposta
O espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato é 0,5 unidades.
Exercícios relacionados
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule em termos da derivada
.
(a) Usando as regras de derivação, calcule
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou
a concentração está variando mais rapidamente.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
(b) Calcule o limite