Um gato está no ponto
, descobre um rato situado na origem
e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo
, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições
e
ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos
e
é tangente à curva no ponto
. No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função
dada por
.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gato começando no ponto
e um rato na origem
. Quando o gato começa a perseguir o rato, o rato sai correndo para cima no eixo
com metade da velocidade do gato. A trajetória do gato é uma curva de perseguição, que no nosso caso é dada pela função
no intervalo de
de 0 a 1. A gente precisa calcular o espaço total que o rato percorre antes de ser pego pelo gato. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos retilíneos e como relacionar velocidade, tempo e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quanto tempo o rato leva para ser capturado pelo gato. Sabemos que o gato está se movendo ao longo da curva de perseguição até o ponto final
. Nesse intervalo, o tempo que o gato leva para ir de
a
é igual a 1 unidade de tempo, assumindo que a velocidade do gato seja
.
Passo 3
Agora, sabendo que o rato está se movendo para cima com uma velocidade que é metade da do gato, ou seja,
, podemos calcular a distância total que o rato percorre durante esse tempo. Como o rato começa a correr no mesmo instante em que o gato começa a perseguição, o tempo total que o rato está correndo é o mesmo que o gato leva para alcançá-lo, que é 1 unidade de tempo.
Passo 4
Para encontrar o espaço percorrido pelo rato, usamos a fórmula básica da física:
Substituindo os valores que temos:
Como estamos considerando
unidade de velocidade (para simplificar), a distância percorrida pelo rato é:
Resposta
O espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato é 0,5 unidades.