Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gato começando no ponto e um rato na origem . Quando o gato começa a perseguir o rato, o rato sai correndo para cima no eixo com metade da velocidade do gato. A trajetória do gato é uma curva de perseguição, que no nosso caso é dada pela função no intervalo de de 0 a 1. A gente precisa calcular o espaço total que o rato percorre antes de ser pego pelo gato. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos retilíneos e como relacionar velocidade, tempo e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quanto tempo o rato leva para ser capturado pelo gato. Sabemos que o gato está se movendo ao longo da curva de perseguição até o ponto final . Nesse intervalo, o tempo que o gato leva para ir de a é igual a 1 unidade de tempo, assumindo que a velocidade do gato seja .

Passo 3

Agora, sabendo que o rato está se movendo para cima com uma velocidade que é metade da do gato, ou seja, , podemos calcular a distância total que o rato percorre durante esse tempo. Como o rato começa a correr no mesmo instante em que o gato começa a perseguição, o tempo total que o rato está correndo é o mesmo que o gato leva para alcançá-lo, que é 1 unidade de tempo.

Passo 4

Para encontrar o espaço percorrido pelo rato, usamos a fórmula básica da física:
â
Substituindo os valores que temos:
â
Como estamos considerando unidade de velocidade (para simplificar), a distância percorrida pelo rato é:
â

Resposta

O espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato é 0,5 unidades.

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© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou a concentração está variando mais rapidamente.
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(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.