Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um reservatório que começa com 50 litros de água pura, ou seja, sem sal. Ele está sendo abastecido com água salgada a uma taxa de 5 litros por minuto, e essa água salgada tem 1 grama de sal por litro. Queremos descobrir, entre dois momentos específicos de tempo (10 e 30 minutos), em qual desses instantes a concentração de sal no reservatório está mudando mais rápido.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de taxas relacionadas e derivadas para entender como a concentração de sal varia ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar como o volume de água no reservatório, , varia com o tempo. Como a água está entrando constantemente à taxa de 5 litros por minuto e não há menção de que está saindo água, o volume aumenta linearmente.
Então, a função para o volume é:
onde:
é o volume em litros após minutos,
50 é o volume inicial,
5 é a taxa de entrada em litros por minuto.
Passo 3
Agora, vamos achar a quantidade de sal no reservatório, . A água salgada está entrando com 1 grama de sal por litro, então a taxa de entrada de sal é .
Como inicialmente não há sal, a quantidade de sal no tempo é a integral da taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal (se houver). Mas, como não foi mencionado que a água está saindo, assumimos que todo o sal que entra permanece no reservatório.
Portanto:
onde:
é a quantidade de sal em gramas após minutos.
Passo 4
A concentração de sal, , é a quantidade de sal dividida pelo volume de água no reservatório:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a taxa de variação da concentração de sal em relação ao tempo, ou seja, . Vamos derivar a função em relação a :
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, vamos calcular para e :
Resposta
A concentração de sal está variando mais rapidamente no instante minutos.