Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água e a quantidade de sal no reservatório são funções do tempo , e portanto a concentração de sal no reservatório é também uma função do tempo.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou a concentração está variando mais rapidamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um reservatório que começa com 50 litros de água pura, ou seja, sem sal. Ele está sendo abastecido com água salgada a uma taxa de 5 litros por minuto, e essa água salgada tem 1 grama de sal por litro. Queremos descobrir, entre dois momentos específicos de tempo (10 e 30 minutos), em qual desses instantes a concentração de sal no reservatório está mudando mais rápido.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de taxas relacionadas e derivadas para entender como a concentração de sal varia ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar como o volume de água no reservatório, , varia com o tempo. Como a água está entrando constantemente à taxa de 5 litros por minuto e não há menção de que está saindo água, o volume aumenta linearmente.
Então, a função para o volume é:
onde:
  • é o volume em litros após minutos,
  • 50 é o volume inicial,
  • 5 é a taxa de entrada em litros por minuto.

Passo 3

Agora, vamos achar a quantidade de sal no reservatório, . A água salgada está entrando com 1 grama de sal por litro, então a taxa de entrada de sal é .
Como inicialmente não há sal, a quantidade de sal no tempo é a integral da taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal (se houver). Mas, como não foi mencionado que a água está saindo, assumimos que todo o sal que entra permanece no reservatório.
Portanto:
onde:
  • é a quantidade de sal em gramas após minutos.

Passo 4

A concentração de sal, , é a quantidade de sal dividida pelo volume de água no reservatório:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a taxa de variação da concentração de sal em relação ao tempo, ou seja, . Vamos derivar a função em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, vamos calcular para e :

Resposta

A concentração de sal está variando mais rapidamente no instante minutos.

Exercícios relacionados

Um gato está no ponto , descobre um rato situado na origem e parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direção positiva do eixo , com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições e ilustradas na figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos e é tangente à curva no ponto . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da função dada por .
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato.
Suponha que o eixo representa o solo e uma montanha é modelada pela equação , onde . Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta , de modo que, no instante 0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por ( . Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(b) Determine a equação da reta tangente à montanha que passa por um observador localizado em .
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água e a quantidade de sal no reservatório são funções do tempo , e portanto a concentração de sal no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
© Calcule supondo que .