Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados
,
primo ímpar e
inteiro, se
é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde
denota o coeficiente de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve polinômios e raízes da unidade. O assunto aqui é álgebra de polinômios e raízes da unidade, especificamente trabalhando com coeficientes de polinômios que satisfazem certas condições modulares. Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes da unidade podem nos ajudar a extrair informações específicas sobre os coeficientes de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa raiz p-ésima da unidade. Uma raiz p-ésima da unidade, denotada por ω, é um número complexo que, elevado à potência p, resulta em 1. Ou seja, ω^p = 1. Essas raízes são igualmente espaçadas no círculo complexo e são fundamentais em várias áreas da matemática, incluindo a transformação de Fourier.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o coeficiente [X^k] em f. Suponha que temos um polinômio f(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + … + a_nX^n. Aqui, [X^k] representa o coeficiente a_k do termo X^k no polinômio f.
Passo 4
O exercício nos dá uma soma onde consideramos apenas os coeficientes cujo índice k é congruente a r módulo p, ou seja, k ≡ r (mod p). Queremos expressar essa soma em termos de avaliações do polinômio f nas raízes p-ésimas da unidade.
Passo 5
Para conectar essas ideias, usamos a propriedade das raízes da unidade que nos permite selecionar termos específicos ao avaliar o polinômio nesses pontos especiais. A fórmula que vamos generalizar faz justamente isso: ela soma certos coeficientes de f(X) multiplicados por potências de ω, e isso nos ajuda a isolar os coeficientes desejados.
Passo 6
Vamos montar a soma proposta no exercício:
Aqui, o lado esquerdo está somando os coeficientes de X^k em f(X) onde k ≡ r mod p. O lado direito envolve uma média das avaliações de f nas raízes da unidade multiplicadas por um fator ω^{(p-1) r j}.
Passo 7
Para entender por que essa igualdade funciona, vamos lembrar que somar as potências das raízes da unidade ajuda a “filtrar” os coeficientes que satisfazem certas condições modulares. A multiplicação por ω^{(p-1) r j} ajusta essas somas para que apenas os termos com k ≡ r mod p contribuam significativamente para a soma total.
Passo 8
Assim, ao calcular a média ponderada das avaliações de f nas raízes da unidade, multiplicadas por ω^{(p-1) r j}, estamos efetivamente extraindo apenas os coeficientes que queremos somar no lado esquerdo da igualdade.
Resposta
Portanto, a fórmula generalizada de multisecção é:
Essa expressão nos permite calcular a soma dos coeficientes de f(X) onde os índices são congruentes a r módulo p, utilizando as raízes p-ésimas da unidade.
Exercícios relacionados
Seja
um polinômio de grau
tal que
para todo
. Calcule
.
Mostre que, se
são tais que
, então
.