Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados , primo ímpar e inteiro, se é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde denota o coeficiente de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve polinômios e raízes da unidade. O assunto aqui é álgebra de polinômios e raízes da unidade, especificamente trabalhando com coeficientes de polinômios que satisfazem certas condições modulares. Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes da unidade podem nos ajudar a extrair informações específicas sobre os coeficientes de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa raiz p-ésima da unidade. Uma raiz p-ésima da unidade, denotada por ω, é um número complexo que, elevado à potência p, resulta em 1. Ou seja, ω^p = 1. Essas raízes são igualmente espaçadas no círculo complexo e são fundamentais em várias áreas da matemática, incluindo a transformação de Fourier.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o coeficiente [X^k] em f. Suponha que temos um polinômio f(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + … + a_nX^n. Aqui, [X^k] representa o coeficiente a_k do termo X^k no polinômio f.

Passo 4

O exercício nos dá uma soma onde consideramos apenas os coeficientes cujo índice k é congruente a r módulo p, ou seja, k ≡ r (mod p). Queremos expressar essa soma em termos de avaliações do polinômio f nas raízes p-ésimas da unidade.

Passo 5

Para conectar essas ideias, usamos a propriedade das raízes da unidade que nos permite selecionar termos específicos ao avaliar o polinômio nesses pontos especiais. A fórmula que vamos generalizar faz justamente isso: ela soma certos coeficientes de f(X) multiplicados por potências de ω, e isso nos ajuda a isolar os coeficientes desejados.

Passo 6

Vamos montar a soma proposta no exercício:
Aqui, o lado esquerdo está somando os coeficientes de X^k em f(X) onde k ≡ r mod p. O lado direito envolve uma média das avaliações de f nas raízes da unidade multiplicadas por um fator ω^{(p-1) r j}.

Passo 7

Para entender por que essa igualdade funciona, vamos lembrar que somar as potências das raízes da unidade ajuda a “filtrar” os coeficientes que satisfazem certas condições modulares. A multiplicação por ω^{(p-1) r j} ajusta essas somas para que apenas os termos com k ≡ r mod p contribuam significativamente para a soma total.

Passo 8

Assim, ao calcular a média ponderada das avaliações de f nas raízes da unidade, multiplicadas por ω^{(p-1) r j}, estamos efetivamente extraindo apenas os coeficientes que queremos somar no lado esquerdo da igualdade.

Resposta

Portanto, a fórmula generalizada de multisecção é:
Essa expressão nos permite calcular a soma dos coeficientes de f(X) onde os índices são congruentes a r módulo p, utilizando as raízes p-ésimas da unidade.

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Mostre que, se são tais que , então .