No problema da braquistócrona, mostre que o tempo necessário para uma partícula se mover (sem atrito) ao ponto mínimo do cicloide é , independentemente do ponto inicial.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre o problema da braquistócrona. A braquistócrona é a curva pela qual uma partícula desliza sem atrito sob a ação da gravidade, levando o menor tempo para descer entre dois pontos. No nosso caso, precisamos mostrar que o tempo necessário para a partícula chegar ao ponto mínimo da cicloide é igual a , independentemente do ponto onde ela começa. Para resolver isso, vamos precisar entender a parametrização da cicloide, a equação do tempo de descida e como integrar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma cicloide é a curva traçada por um ponto fixo em um círculo que rola sem deslizar sobre uma reta. A parametrização da cicloide pode ser dada por:
onde é o raio do círculo gerador e é o parâmetro angular.

Passo 3

Para calcular o tempo de descida, usamos a fórmula do tempo em movimento ao longo de uma curva:
Aqui, é a velocidade da partícula em cada ponto da curva. De acordo com a conservação da energia, a velocidade depende da altura :
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Substituindo na expressão do tempo, temos:
Agora, precisamos expressar e em termos de . Derivando as equações da cicloide:

Passo 5

Então, o elemento de arco fica:
E a altura é:

Passo 6

Substituindo esses valores na integral do tempo:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 7

A integral de varia de até para completar um ciclo da cicloide até o ponto mínimo. Então:

Resposta

O tempo necessário para a partícula chegar ao ponto mínimo da cicloide é .

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