Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz. Usando estas informações estime o fator de amortecimento xi e o coeficiente de rigidez desta fundação.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma base elástica. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em várias frequências e a amplitude máxima observada foi de 4,1 mm quando a frequência foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar duas coisas importantes dessa base: o fator de amortecimento ( xi) e o coeficiente de rigidez ( k).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre sistemas massa-mola amortecidos forçados. Vamos precisar entender como a amplitude das vibrações depende da frequência de excitação, da rigidez da base e do amortecimento presente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força aplicada, a rigidez da base e a amplitude das vibrações. Em um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força harmônica, a amplitude ( A) da vibração em regime permanente é dada pela fórmula:
A = F0k cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Onde:
  • A é a amplitude da vibração,
  • F0 é a magnitude da força aplicada (8000 N),
  • k é o coeficiente de rigidez da base que queremos encontrar,
  • r é a razão das frequências ( r = omegaomegan),
  • xi é o fator de amortecimento que também queremos estimar,
  • omega é a frequência de excitação,
  • omegan é a frequência natural do sistema.

Passo 3

Vamos calcular a frequência angular de excitação ( omega) usando a frequência dada de 40 Hz. A fórmula para converter frequência ( f) em frequência angular ( omega) é:
omega = 2pi f
Substituindo f = 40 Hz:
omega = 2pi cdot 40 approx 251.33 , rad/s

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a frequência natural ( omegan) com o coeficiente de rigidez ( k) e a massa ( m). A frequência natural é dada por:
omegan = raizkm
Onde m = 82 kg. Vamos manter essa fórmula para usar mais tarde.

Passo 5

Sabemos também que r = omegaomegan. Vamos reescrever a amplitude A em termos de r:
A = F0k cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Nós temos A = 4.1 mm = 0.0041 m, e F0 = 8000 N. Vamos substituir esses valores na equação:
0.0041 = 8000k cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2

Passo 6

Precisamos agora de uma segunda equação para resolvermos simultaneamente as duas incógnitas ( k e xi). Vamos usar a expressão do fator de amortecimento em termos de omegan:
xi = c2 raizkm
Mas como não temos a constante de amortecimento c, vamos usar a definição de frequência para relacionar as equações. No entanto, para simplificar, vamos assumir que o fator de amortecimento é pequeno, o que nos permite aproximar a expressão da amplitude. Para sistemas com pequeno amortecimento, a amplitude máxima ocorre próximo à frequência natural, e podemos usar a seguinte aproximação quando r approx 1:
A approx F0k cdot 12xi r

Passo 7

Usando essa aproximação, podemos rearranjar a equação para encontrar xi:
xi approx F02 k r A
Mas ainda precisamos relacionar isso com a frequência natural. Vamos voltar à equação da frequência natural:
omegan = raizkm
E sabemos que r = omegaomegan, então:
omegan = omegar
Substituindo isso na expressão de xi:
xi approx F02 k r A = F02 k r A = F02 A cdot raizm kk r = F0 raizm2 A k^3/2 r
Essa equação ainda é complexa, então vamos resolver de outra maneira mais direta.

Passo 8

Vamos retornar à equação original da amplitude e expressar tudo em termos de k e xi. Reorganizando a equação da amplitude:
raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2 = F0k A
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2 = (F0k A)^2
Agora, sabemos que r = omegaomegan = omegaraizkm = omega raizmraizk
Substituindo r na equação acima:
(1 - (omega raizmraizk)^2)^2 + (2xi cdot omega raizmraizk)^2 = (F0k A)^2

Passo 9

Essa equação é uma relação complexa entre k e xi. Para resolver, podemos fazer uma suposição inicial ou usar métodos numéricos. Vamos assumir inicialmente um valor para k e resolver para xi, iterando até encontrar consistência.
Primeiro, vamos estimar a frequência natural aproximada. Para isso, sabemos que a amplitude é máxima perto de omega = omegan. Então, podemos assumir que a frequência natural está próxima de 40 Hz. Vamos calcular omegan:
omegan approx 2pi cdot 40 approx 251.33 , rad/s
Agora, usando omegan = raizkm, podemos encontrar uma estimativa inicial para k:
k approx omegan^2 m1 = (251.33)^2 cdot 82 approx 251.33^2 times 82
Calculando isso:
k approx 63066 times 82 approx 5.17 times 10^6 , N/m

Passo 10

Agora que temos uma estimativa para k, vamos usar a equação da amplitude para encontrar xi:
0.0041 = 80005.17 times 10^6 cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Calculando 80005.17 times 10^6:
80005.17 times 10^6 approx 0.001547
Então:
0.0041 = 0.001547 cdot 1raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2
Rearranjando:
$$
\sqrt{(1 - r2)2 + (2\xi r)^2} = \frac{0.001547}{0.0041} \approx 0.377
$$
Elevando ao quadrado:
raiz(1 - r^2)^2 + (2xi r)^2 = 0.0015470.0041 approx 0.377
Sabemos que (1 - r^2)^2 + (2xi r)^2 = 0.142 (já que estamos perto da frequência natural), então substituindo r approx 1:
r = 1

Resposta

O fator de amortecimento xi é aproximadamente 0,188 e o coeficiente de rigidez da fundação k é cerca de 5,17 × 10⁶ N/m.

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