Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz. Usando estas informações estime o fator de amortecimento e o coeficiente de rigidez desta fundação.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma base elástica. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em várias frequências e a amplitude máxima observada foi de 4,1 mm quando a frequência foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar duas coisas importantes dessa base: o fator de amortecimento ( ) e o coeficiente de rigidez ( ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre sistemas massa-mola amortecidos forçados. Vamos precisar entender como a amplitude das vibrações depende da frequência de excitação, da rigidez da base e do amortecimento presente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força aplicada, a rigidez da base e a amplitude das vibrações. Em um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força harmônica, a amplitude ( ) da vibração em regime permanente é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a amplitude da vibração,
  • é a magnitude da força aplicada (8000 N),
  • é o coeficiente de rigidez da base que queremos encontrar,
  • é a razão das frequências ( ),
  • é o fator de amortecimento que também queremos estimar,
  • é a frequência de excitação,
  • é a frequência natural do sistema.

Passo 3

Vamos calcular a frequência angular de excitação ( ) usando a frequência dada de 40 Hz. A fórmula para converter frequência ( ) em frequência angular ( ) é:
Substituindo Hz:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a frequência natural ( ) com o coeficiente de rigidez ( ) e a massa ( ). A frequência natural é dada por:
Onde kg. Vamos manter essa fórmula para usar mais tarde.

Passo 5

Sabemos também que . Vamos reescrever a amplitude em termos de :
Nós temos mm = 0.0041 m, e N. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Precisamos agora de uma segunda equação para resolvermos simultaneamente as duas incógnitas ( e ). Vamos usar a expressão do fator de amortecimento em termos de :
Mas como não temos a constante de amortecimento , vamos usar a definição de frequência para relacionar as equações. No entanto, para simplificar, vamos assumir que o fator de amortecimento é pequeno, o que nos permite aproximar a expressão da amplitude. Para sistemas com pequeno amortecimento, a amplitude máxima ocorre próximo à frequência natural, e podemos usar a seguinte aproximação quando :

Passo 7

Usando essa aproximação, podemos rearranjar a equação para encontrar :
Mas ainda precisamos relacionar isso com a frequência natural. Vamos voltar à equação da frequência natural:
E sabemos que , então:
Substituindo isso na expressão de :
Essa equação ainda é complexa, então vamos resolver de outra maneira mais direta.

Passo 8

Vamos retornar à equação original da amplitude e expressar tudo em termos de e . Reorganizando a equação da amplitude:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Agora, sabemos que
Substituindo na equação acima:

Passo 9

Essa equação é uma relação complexa entre e . Para resolver, podemos fazer uma suposição inicial ou usar métodos numéricos. Vamos assumir inicialmente um valor para e resolver para , iterando até encontrar consistência.
Primeiro, vamos estimar a frequência natural aproximada. Para isso, sabemos que a amplitude é máxima perto de . Então, podemos assumir que a frequência natural está próxima de 40 Hz. Vamos calcular :
Agora, usando , podemos encontrar uma estimativa inicial para :
Calculando isso:

Passo 10

Agora que temos uma estimativa para , vamos usar a equação da amplitude para encontrar :
Calculando :
Então:
Rearranjando:
$$
\sqrt{(1 - r2)2 + (2\xi r)^2} = \frac{0.001547}{0.0041} \approx 0.377
$$
Elevando ao quadrado:
Sabemos que (já que estamos perto da frequência natural), então substituindo :

Resposta

O fator de amortecimento é aproximadamente 0,188 e o coeficiente de rigidez da fundação é cerca de 5,17 × 10⁶ N/m.

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