Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz. Usando estas informações estime o fator de amortecimento
e o coeficiente de rigidez desta fundação.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma base elástica. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em várias frequências e a amplitude máxima observada foi de 4,1 mm quando a frequência foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar duas coisas importantes dessa base: o fator de amortecimento (
) e o coeficiente de rigidez (
).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre sistemas massa-mola amortecidos forçados. Vamos precisar entender como a amplitude das vibrações depende da frequência de excitação, da rigidez da base e do amortecimento presente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a força aplicada, a rigidez da base e a amplitude das vibrações. Em um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força harmônica, a amplitude (
) da vibração em regime permanente é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a amplitude da vibração, -
é a magnitude da força aplicada (8000 N), -
é o coeficiente de rigidez da base que queremos encontrar, -
é a razão das frequências ( ), -
é o fator de amortecimento que também queremos estimar, -
é a frequência de excitação, -
é a frequência natural do sistema.
Passo 3
Vamos calcular a frequência angular de excitação (
) usando a frequência dada de 40 Hz. A fórmula para converter frequência (
) em frequência angular (
) é:
Substituindo
Hz:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a frequência natural (
) com o coeficiente de rigidez (
) e a massa (
). A frequência natural é dada por:
Onde
kg. Vamos manter essa fórmula para usar mais tarde.
Passo 5
Sabemos também que
. Vamos reescrever a amplitude
em termos de
:
Nós temos
mm = 0.0041 m, e
N. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Precisamos agora de uma segunda equação para resolvermos simultaneamente as duas incógnitas (
e
). Vamos usar a expressão do fator de amortecimento em termos de
:
Mas como não temos a constante de amortecimento
, vamos usar a definição de frequência para relacionar as equações. No entanto, para simplificar, vamos assumir que o fator de amortecimento é pequeno, o que nos permite aproximar a expressão da amplitude. Para sistemas com pequeno amortecimento, a amplitude máxima ocorre próximo à frequência natural, e podemos usar a seguinte aproximação quando
:
Passo 7
Usando essa aproximação, podemos rearranjar a equação para encontrar
:
Mas ainda precisamos relacionar isso com a frequência natural. Vamos voltar à equação da frequência natural:
E sabemos que
, então:
Substituindo isso na expressão de
:
Essa equação ainda é complexa, então vamos resolver de outra maneira mais direta.
Passo 8
Vamos retornar à equação original da amplitude e expressar tudo em termos de
e
. Reorganizando a equação da amplitude:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Agora, sabemos que
Substituindo
na equação acima:
Passo 9
Essa equação é uma relação complexa entre
e
. Para resolver, podemos fazer uma suposição inicial ou usar métodos numéricos. Vamos assumir inicialmente um valor para
e resolver para
, iterando até encontrar consistência.
Primeiro, vamos estimar a frequência natural aproximada. Para isso, sabemos que a amplitude é máxima perto de
. Então, podemos assumir que a frequência natural está próxima de 40 Hz. Vamos calcular
:
Agora, usando
, podemos encontrar uma estimativa inicial para
:
Calculando isso:
Passo 10
Agora que temos uma estimativa para
, vamos usar a equação da amplitude para encontrar
:
Calculando
:
Então:
Rearranjando:
$$
\sqrt{(1 - r2)2 + (2\xi r)^2} = \frac{0.001547}{0.0041} \approx 0.377
\sqrt{(1 - r2)2 + (2\xi r)^2} = \frac{0.001547}{0.0041} \approx 0.377
$$
Elevando ao quadrado:
Sabemos que
(já que estamos perto da frequência natural), então substituindo
:
Resposta
O fator de amortecimento
é aproximadamente 0,188 e o coeficiente de rigidez da fundação
é cerca de 5,17 × 10⁶ N/m.
Exercícios relacionados
Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez
. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c =
é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento
, a frequência natural
a frequência natural amortecida
?
Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa
1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente
. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor,
é de 0.01 m. Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.
Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação
é dada por:
Onde: