Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa m= 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente k eq =1.5 MN / m. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gerador com um motor diesel monocilíndrico que está vibrando. A gente precisa calcular o coeficiente de amortecimento do sistema, que basicamente diz o quanto as vibrações estão sendo “apagadas” ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de vibrações harmônicas e amortecimento viscoso. Vamos precisar das informações de massa, rigidez dos isoladores, amplitude da vibração e entender um pouco sobre como o amortecimento funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema vibratório. Temos uma massa total que está vibrando sobre uma mola (os isoladores). A massa total m é a soma da massa do motor ( 1100 , kg) e da massa do pistão e biela ( 26 , kg):
m = 1100 , kg + 26 , kg = 1126 , kg
A rigidez equivalente das molas é dada por keq = 1.5 times 10^6 , N/m.

Passo 3

Vamos calcular a frequência natural do sistema sem amortecimento. A frequência natural ( omegan) é dada por:
omegan = raizkeqm
Substituindo os valores:
omegan = raiz1.5 times 10^61126 approx raiz1332.5 approx 36.5 , rad/s

Passo 4

Agora, considerando o amortecimento viscoso, a amplitude da vibração em regime permanente ( Xp) está relacionada ao coeficiente de amortecimento ( c) e à força harmônica aplicada. No entanto, como estamos lidando com vibrações livres em regime permanente, podemos usar a relação entre amplitude, amortecimento e frequência natural.
A amplitude máxima para um sistema amortecido é dada por:
Xp = F0keq 1raiz(1 - r^2)^2 + (2 zeta r)^2
Onde:
  • F0 é a força aplicada,
  • r é a relação de frequência ( omegaomegan),
  • zeta é o coeficiente de amortecimento crítico.
Mas, para simplificar, podemos usar a fórmula para vibrações em regime permanente com amortecimento:
Xp = F0keq 12 zeta
Rearranjando para encontrar zeta:
zeta = F02 keq Xp
Entretanto, precisamos relacionar a força aplicada com as massas e acelerações. Considerando que a força resultante está balanceada pelo amortecimento, temos:
c cdot omegan cdot Xp = m cdot omegan^2 cdot Xp
Mas isso não nos leva diretamente ao coeficiente de amortecimento. Na verdade, uma abordagem mais direta é usar a relação entre o amortecimento crítico ( cc) e o coeficiente de amortecimento real ( c):
zeta = c2 raizm keq
Nós sabemos que zeta está relacionado à amplitude observada, e para vibrações em regime permanente, a amplitude Xp pode ser utilizada para encontrar zeta.
No entanto, como estamos buscando uma solução didática simplificada, vamos utilizar a relação de deslocamento máximo em vibrações forçadas:
Xp = F0raiz(keq - m omega^2)^2 + (c omega)^2
Assumindo que estamos na frequência natural ( omega = omegan), a equação simplifica para:
Xp = F0c omegan
Rearranjando para encontrar c:
c = F0omegan Xp

Passo 5

Agora, para encontrar F0, sabemos que em vibrações livres a força pode ser relacionada ao peso da massa, ou seja:
F0 = m cdot g
Onde g = 9.81 , m/s^2.
Então:
F0 = 1126 , kg times 9.81 , m/s^2 approx 11045 , N
Agora, substituindo na equação do coeficiente de amortecimento:
c = 1104536.5 times 0.01 approx 110450.365 approx 30219 , N·s/m

Resposta

O coeficiente de amortecimento do sistema é aproximadamente 3.02 times 10^4 , N·s/m.

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