Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente . O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gerador com um motor diesel monocilíndrico que está vibrando. A gente precisa calcular o coeficiente de amortecimento do sistema, que basicamente diz o quanto as vibrações estão sendo “apagadas” ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de vibrações harmônicas e amortecimento viscoso. Vamos precisar das informações de massa, rigidez dos isoladores, amplitude da vibração e entender um pouco sobre como o amortecimento funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema vibratório. Temos uma massa total que está vibrando sobre uma mola (os isoladores). A massa total é a soma da massa do motor ( ) e da massa do pistão e biela ( ):
A rigidez equivalente das molas é dada por .

Passo 3

Vamos calcular a frequência natural do sistema sem amortecimento. A frequência natural ( ) é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, considerando o amortecimento viscoso, a amplitude da vibração em regime permanente ( ) está relacionada ao coeficiente de amortecimento ( ) e à força harmônica aplicada. No entanto, como estamos lidando com vibrações livres em regime permanente, podemos usar a relação entre amplitude, amortecimento e frequência natural.
A amplitude máxima para um sistema amortecido é dada por:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a relação de frequência ( ),
  • é o coeficiente de amortecimento crítico.
Mas, para simplificar, podemos usar a fórmula para vibrações em regime permanente com amortecimento:
Rearranjando para encontrar :
Entretanto, precisamos relacionar a força aplicada com as massas e acelerações. Considerando que a força resultante está balanceada pelo amortecimento, temos:
Mas isso não nos leva diretamente ao coeficiente de amortecimento. Na verdade, uma abordagem mais direta é usar a relação entre o amortecimento crítico ( ) e o coeficiente de amortecimento real ( ):
Nós sabemos que está relacionado à amplitude observada, e para vibrações em regime permanente, a amplitude pode ser utilizada para encontrar .
No entanto, como estamos buscando uma solução didática simplificada, vamos utilizar a relação de deslocamento máximo em vibrações forçadas:
Assumindo que estamos na frequência natural ( ), a equação simplifica para:
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora, para encontrar , sabemos que em vibrações livres a força pode ser relacionada ao peso da massa, ou seja:
Onde .
Então:
Agora, substituindo na equação do coeficiente de amortecimento:

Resposta

O coeficiente de amortecimento do sistema é aproximadamente .

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(a) a velocidade da bala e do bloco B após o primeiro impacto;
Mostre que, para qualquer instante , o ângulo entre a aresta e a direção horizontal é dado por:
Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:
*Para resolver as Questões 2 e 3, considere as seguintes condições iniciais: e
Questão 2. Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde: