Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação (m ddotx+c dotx+k x=0) é dada por:
x(t)=(x0+(dotx0+omegan x0) t) e^-omegan t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um sistema criticamente amortecido descrito pela equação diferencial x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t , a solução é dada por:
Aqui, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos conhecer sobre amortecimento crítico, frequências naturais e resolver equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema criticamente amortecido. Em um sistema massa-mola-amortecedor, o amortecimento crítico acontece quando o coeficiente de amortecimento c = 2 raizm k é tal que o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. A condição para amortecimento crítico é:
Isso nos garante que a equação diferencial terá raízes reais e iguais, o que é característico para soluções criticamente amortecidas.

Passo 3

Vamos reescrever a equação diferencial padrão:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Para facilitar, dividimos toda a equação por ddotx + cm dotx + km x = 0 :
Aqui, é a frequência natural não amortecida.

Passo 4

Substituindo ddotx + 2 omegan dotx + omegan^2 x = 0 na equação, temos:
A condição de amortecimento crítico implica que o coeficiente de é , confirmando que estamos no caso criticamente amortecido.

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial com raízes reais e iguais, assumimos uma solução do tipo:
x(t) = (A + B t) e^-omegan t
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais e .

Passo 6

Aplicando a condição inicial x(0) = (A + B cdot 0) e^0 = A = x0 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos derivar dotx(t) = B e^-omegan t + (A + B t)(- omegan) e^-omegan t para encontrar dotx(t) = (B - omegan A - omegan B t) e^-omegan t :
dotx(0) = (B - omegan A) e^0 = B - omegan x0 = dotx0
Simplificando:
Aplicando a condição :
Então, .

Passo 8

Substituindo x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t e na solução geral:
Isso confirma que a solução para o sistema criticamente amortecido é exatamente como foi pedido no enunciado.

Resposta

A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é:
x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t

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