*Para resolver as Questões 2 e 3, considere as seguintes condições iniciais: e
Questão 2. Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a solução de uma equação diferencial de um sistema subamortecido. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem aplicadas a sistemas mecânicos com massa, mola e amortecedor. Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor sem forças externas. Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, é a posição e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos m lambda^2 e^lambda t + c lambda e^lambda t + k e^lambda t = 0 na equação diferencial, o que nos dá:
m lambda^2 + c lambda + k = 0
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Essa é a equação característica.
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para lambda = -c pm raizc^2 - 4mk2m usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante nos diz o tipo de solução. Como estamos lidando com um sistema subamortecido, sabemos que , ou seja, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 5
Vamos expressar as raízes de forma mais amigável. Definimos a frequência natural não amortecida lambda = -zeta omegan pm i omegan raiz1 - zeta^2 e a razão de amortecimento . Com isso, as raízes ficam:
Aqui, é a unidade imaginária.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
x(t) = e^-zeta omegan t (A cos(omegad t) + B sin(omegad t))
onde é a frequência amortecida.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes x(0) = e^0 (A cos(0) + B sin(0)) Rightarrow x0 = A e . Sabemos que e .
Substituindo na solução:
Ent��o, .
Passo 8
Agora, derivamos dotx(t) = -zeta omegan e^-zeta omegan t (A cos(omegad t) + B sin(omegad t)) + e^-zeta omegan t (-A omegad sin(omegad t) + B omegad cos(omegad t)) para encontrar dotx0 = -zeta omegan A + omegad B e aplicamos a condição inicial:
dotx0 = -zeta omegan x0 + omegad B Rightarrow B = dotx0 + zeta omegan x0omegad
Substituindo :
Como :
Passo 9
Substituindo x(t) = e^-zeta omegan t ( x0 cos(omegad t) + dotx0 + zeta omegan x0omegad sin(omegad t) ) e de volta na solução geral:
Podemos reescrever isso usando amplitudes e fase para simplificar a expressão.
Passo 10
Para expressar a solução de forma compacta, definimos a amplitude X = raizx0^2 + (dotx0 + zeta omegan x0omegad)^2 e a fase phi = tan^-1(dotx0 + zeta omegan x0x0 omegan raiz1 - zeta^2) :
x(t) = X e^-zeta omegan t cos(omegad t - phi)
Assim, a solução final fica:
Resposta
A solução do sistema subamortecido é:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos (raiz1-zeta^2 , omegan t - phi )