*Para resolver as Questões 2 e 3, considere as seguintes condições iniciais: e
Questão 2. Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a solução de uma equação diferencial de um sistema subamortecido. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem aplicadas a sistemas mecânicos com massa, mola e amortecedor. Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor sem forças externas. Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, é a posição e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos na equação diferencial, o que nos dá:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Essa é a equação característica.

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante nos diz o tipo de solução. Como estamos lidando com um sistema subamortecido, sabemos que , ou seja, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 5

Vamos expressar as raízes de forma mais amigável. Definimos a frequência natural não amortecida e a razão de amortecimento . Com isso, as raízes ficam:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e . Sabemos que e .
Substituindo na solução:
Ent��o, .

Passo 8

Agora, derivamos para encontrar e aplicamos a condição inicial:
Substituindo :
Como :

Passo 9

Substituindo e de volta na solução geral:
Podemos reescrever isso usando amplitudes e fase para simplificar a expressão.

Passo 10

Para expressar a solução de forma compacta, definimos a amplitude e a fase :
Assim, a solução final fica:

Resposta

A solução do sistema subamortecido é:
onde:

Exercícios relacionados

Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:
Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente . O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.
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Questão 11. Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente . O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical UACSA Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Disciplina: Vibrações Mecânicas Professor: Thiago Araujo Simões com curso de 0.45 m a 500 rpm . O curso é definido como curso = 2e. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.