*Para resolver as Questões 2 e 3, considere as seguintes condições iniciais: e
Questão 2. Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a solução de uma equação diferencial de um sistema subamortecido. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem aplicadas a sistemas mecânicos com massa, mola e amortecedor. Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor sem forças externas. Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, é a posição e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos na equação diferencial, o que nos dá:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Essa é a equação característica.
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
O discriminante nos diz o tipo de solução. Como estamos lidando com um sistema subamortecido, sabemos que , ou seja, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 5
Vamos expressar as raízes de forma mais amigável. Definimos a frequência natural não amortecida e a razão de amortecimento . Com isso, as raízes ficam:
Aqui, é a unidade imaginária.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
onde é a frequência amortecida.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e . Sabemos que e .
Substituindo na solução:
Ent��o, .
Passo 8
Agora, derivamos para encontrar e aplicamos a condição inicial:
Substituindo :
Como :
Passo 9
Substituindo e de volta na solução geral:
Podemos reescrever isso usando amplitudes e fase para simplificar a expressão.
Passo 10
Para expressar a solução de forma compacta, definimos a amplitude e a fase :