Resolva o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil (FR=-m k v).
(i) Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
(ii) Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).
(iii) Compare os resultados das soluções para os problemas (a) e (b), obtidos em (ii).

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse problema de lançamento de projétil! A gente tem duas situações aqui:
(a) sem resistência do ar, e
(b) com resistência do ar proporcional à velocidade do projétil, que é dada por .
Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton para montar as equações de movimento. Também vamos mexer com trigonometria básica para achar a trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de movimento para cada caso.
Caso (a): Sem resistência do ar
Sem resistência, só temos a força da gravidade atuando no projétil. Então, as equações de movimento nas direções horizontal (x) e vertical (y) são:
m d^2xdt^2 = 0 m d^2ydt^2 = -m g
Aqui, m d^2xdt^2 = -m k dxdt m d^2ydt^2 = -m g - m k dydt é a aceleração da gravidade.
Caso (b): Com resistência do ar proporcional à velocidade
Agora, além da gravidade, temos a força de resistência do ar. As equações ficam:

Passo 3

Vamos resolver o Caso (a) primeiro.
Integrando a equação horizontal:
d^2xdt^2 = 0 Rightarrow dxdt = v0x Rightarrow x(t) = v0x t + x0
Sem resistência, a velocidade horizontal d^2ydt^2 = -g Rightarrow dydt = -g t + v0y Rightarrow y(t) = -12 g t^2 + v0y t + y0 é constante.
Agora, na direção vertical:
A velocidade vertical inicial .

Passo 4

Agora, vamos achar o tempo de voo, o alcance e a trajetória para o Caso (a).
Tempo de voo: O projétil volta ao solo quando 0 = -12 g t^2 + v0 sin(theta) t Rightarrow t = 2 v0 sin(theta)g :
R = v0 cos(theta) times 2 v0 sin(theta)g = v0^2 sin(2theta)g
Alcance (distância horizontal):
y(x) = x tan(theta) - g x^22 v0^2 cos^2(theta)
Trajetória: Eliminando :

Passo 5

Agora, vamos resolver o Caso (b), que é mais complicado por causa da resistência do ar.
Vamos considerar as equações:
d^2xdt^2 = -k dxdt e d^2ydt^2 = -g - k dydt
Essas são equações diferenciais lineares que podemos resolver separadamente.
Para a direção horizontal:
A equação é:
d^2xdt^2 + k dxdt = 0
A solução geral é:
x(t) = v0 cos(theta)k (1 - e^-k t)
Para a direção vertical:
A equação é:
d^2ydt^2 + k dydt + g = 0
A solução geral é:
y(t) = (v0 sin(theta) + gkk) (1 - e^-k t) - gk t

Passo 6

Vamos agora determinar o tempo de voo, o alcance e a trajetória para o Caso (b).
Tempo de voo: Encontramos quando (v0 sin(theta) + gkk) (1 - e^-k t) - gk t = 0 :
R = v0 cos(theta)k (1 - e^-k tv )
Essa equação geralmente não tem solução analítica simples e precisa ser resolvida numericamente.
Alcance (distância horizontal):
Onde é o tempo de voo encontrado numericamente.
Trajetória: Já temos em função de , e também em função de . Para obter em função de , precisamos eliminar , o que geralmente requer métodos numéricos.

Passo 7

Finalmente, vamos comparar os resultados dos dois casos.
  • Tempo de voo: No Caso (b), com resistência do ar, o tempo de voo será menor do que no Caso (a), pois a resistência retarda o projétil.
  • Alcance: Também será menor no Caso (b) por causa da perda de energia devido à resistência.
  • Trajetória: No Caso (a), a trajetória é uma parábola simétrica. Já no Caso (b), a trajetória é mais curta e a subida e descida são mais inclinadas, devido à resistência que atua contra o movimento.

Resposta

Resumindo, considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, o projétil tem menor tempo de voo, alcance reduzido e uma trajetória mais curta e inclinada em comparação com o lançamento sem resistência.

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