Resolva o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil
.
(i) Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
(ii) Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).
(iii) Compare os resultados das soluções para os problemas (a) e (b), obtidos em (ii).
(i) Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
(ii) Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).
(iii) Compare os resultados das soluções para os problemas (a) e (b), obtidos em (ii).
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse problema de lançamento de projétil! A gente tem duas situações aqui:
(a) sem resistência do ar, e
(b) com resistência do ar proporcional à velocidade do projétil, que é dada por .
(a) sem resistência do ar, e
(b) com resistência do ar proporcional à velocidade do projétil, que é dada por
Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton para montar as equações de movimento. Também vamos mexer com trigonometria básica para achar a trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações de movimento para cada caso.
Caso (a): Sem resistência do ar
Sem resistência, só temos a força da gravidade atuando no projétil. Então, as equações de movimento nas direções horizontal (x) e vertical (y) são:
Aqui,
é a aceleração da gravidade.
Caso (b): Com resistência do ar proporcional à velocidade
Agora, além da gravidade, temos a força de resistência do ar. As equações ficam:
Passo 3
Vamos resolver o Caso (a) primeiro.
Integrando a equação horizontal:
Sem resistência, a velocidade horizontal
é constante.
Agora, na direção vertical:
A velocidade vertical inicial
.
Passo 4
Agora, vamos achar o tempo de voo, o alcance e a trajetória para o Caso (a).
Tempo de voo: O projétil volta ao solo quando
:
Alcance (distância horizontal):
Trajetória: Eliminando
:
Passo 5
Agora, vamos resolver o Caso (b), que é mais complicado por causa da resistência do ar.
Vamos considerar as equações:
Essas são equações diferenciais lineares que podemos resolver separadamente.
Para a direção horizontal:
A equação é:
A solução geral é:
Para a direção vertical:
A equação é:
A solução geral é:
Passo 6
Vamos agora determinar o tempo de voo, o alcance e a trajetória para o Caso (b).
Tempo de voo: Encontramos quando
:
Essa equação geralmente não tem solução analítica simples e precisa ser resolvida numericamente.
Alcance (distância horizontal):
Onde
é o tempo de voo encontrado numericamente.
Trajetória: Já temos
em função de
, e
também em função de
. Para obter
em função de
, precisamos eliminar
, o que geralmente requer métodos numéricos.
Passo 7
Finalmente, vamos comparar os resultados dos dois casos.
-
Tempo de voo: No Caso (b), com resistência do ar, o tempo de voo será menor do que no Caso (a), pois a resistência retarda o projétil.
-
Alcance: Também será menor no Caso (b) por causa da perda de energia devido à resistência.
-
Trajetória: No Caso (a), a trajetória é uma parábola simétrica. Já no Caso (b), a trajetória é mais curta e a subida e descida são mais inclinadas, devido à resistência que atua contra o movimento.
Resposta
Resumindo, considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, o projétil tem menor tempo de voo, alcance reduzido e uma trajetória mais curta e inclinada em comparação com o lançamento sem resistência.
Exercícios relacionados
O gerador do subespaço
é o conjunto:
Sendo
, encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores:
Questīo 6. (2 pontos) Seja
umu curva deda por
.
a) Deturmine a equaģà da reta tangente a curva no ponto
.
a) Deturmine a equaģà da reta tangente a curva
Defina multiplicação de números naturais e mostre que:
para todo