Questīo 6. (2 pontos) Seja gamma:[0,2] R^2 umu curva deda por gamma(t)=(t^22, 25 t).
a) Deturmine a equaģà da reta tangente a curva gamma no ponto gamma(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva definida por e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é o ponto gamma(1) = (1^22, 25 times 1) = (12, 25) na curva. Substituindo na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função gamma'(t) = (ddt(t^22), ddt(25 t)) = (t, 25) , que vai nos dar a direção da reta tangente. A derivada de é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto gamma'(1) = (1, 25) para encontrar o vetor tangente naquele ponto:
Esse vetor indica a direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto y - y0 = m (x - x0) e o vetor diretor m = 251 = 25 , podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
y - 25 = 25 (x - 12)
Onde é a inclinação da reta, que é a razão entre as componentes do vetor diretor:
Substituindo , e :

Resposta

A equação da reta tangente à curva y = 25 x no ponto é:

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