Em geral os custos de produção diminuem quando aumenta a produção. Suponha que uma empresa tem a seguinte função de custo, para certo produto :
Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre função de custo de produção de uma empresa, que muda dependendo da quantidade produzida do produto x. O objetivo é esboçar o gráfico dessa função de custo, ou seja, desenhar como o custo C(x) varia conforme a produção aumenta. Para resolver isso, vamos precisar entender funções por partes e como representar cada segmento no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função de custo C(x). A função é definida por quatro expressões diferentes, dependendo do valor de x:
Cada uma dessas expressões mostra como o custo muda conforme a produção aumenta. Agora, vamos plotar cada segmento separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: 1.2x para 0 < x ≤ 100.
  • Função:
  • Intervalo: de x = 0 até x = 100
Calculando alguns pontos:
  • Quando x = 0,
  • Quando x = 100,
Plotamos esses pontos no gráfico e desenhamos uma linha reta que liga (0,0) a (100,120).

Passo 4

Agora, a segunda parte: 0.9x para 100 < x ≤ 300.
  • Função:
  • Intervalo: de x = 100 até x = 300
Calculando alguns pontos:
  • Quando x = 100,
  • Quando x = 300,
Note que no ponto x = 100, há uma diferença: na primeira função, C(100) = 120, e na segunda C(100) = 90. Isso cria um salto no gráfico.
Plotamos os pontos (100,90) a (300,270) e desenhamos uma linha reta entre eles.

Passo 5

Agora, a terceira parte: 0.75x para 300 < x ≤ 600.
  • Função:
  • Intervalo: de x = 300 até x = 600
Calculando alguns pontos:
  • Quando x = 300,
  • Quando x = 600,
Mais uma vez, há um salto no ponto x = 300: de 270 para 225.
Plotamos os pontos (300,225) a (600,450) e desenhamos uma linha reta entre eles.

Passo 6

Finalmente, a quarta parte: 0.6x para 600 < x.
  • Função:
  • Intervalo: de x = 600 em diante
Calculando alguns pontos:
  • Quando x = 600,
  • Podemos escolher outro valor, por exemplo, x = 800,
Mais um salto no ponto x = 600: de 450 para 360.
Plotamos os pontos (600,360) a (800,480) e desenhamos uma linha reta entre eles.

Passo 7

Vamos agora juntar todas as partes no gráfico:
  1. 0 < x ≤ 100: Linha reta de (0,0) a (100,120)
  2. 100 < x ≤ 300: Linha reta de (100,90) a (300,270)
  3. 300 < x ≤ 600: Linha reta de (300,225) a (600,450)
  4. 600 < x: Linha reta de (600,360) em diante
Cada segmento começa onde o anterior terminou em termos de x, mas com um custo menor, refletindo a ideia de que custos de produção diminuem com o aumento da produção.

Resposta

O gráfico de é uma função por partes composta por quatro segmentos de linhas retas decrescentes à medida que x aumenta:
  1. De 0 a 100 unidades: Linha ascendente de (0,0) a (100,120) com inclinação 1.2.
  2. De 100 a 300 unidades: Linha ascendente de (100,90) a (300,270) com inclinação 0.9.
  3. De 300 a 600 unidades: Linha ascendente de (300,225) a (600,450) com inclinação 0.75.
  4. Acima de 600 unidades: Linha ascendente de (600,360) em diante com inclinação 0.6.
Cada segmento reflete uma redução no custo por unidade conforme a produção aumenta.

Exercícios relacionados

Calcule:
Encontre a derivada da função.
Em geral os custos de produção diminuem quando aumenta a produção. Suponha que uma empresa tem a seguinte função de custo, para certo produto :
Determine .
Resolver as seguintes equações exponenciais: ;