O gerente de uma loja modela o total de vendas usando a função
S(t) = 2000 t / (4 + 0,3 t)
onde té o tempo (em anos) após o ano de 2006 e S está expresso em milhares de reais.
Com que taxa as vendas estão variando em 2008?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que modela as vendas de uma loja: , onde é o tempo em anos após 2006 e é o total de vendas em milhares de reais. A gente quer descobrir com que rapidez as vendas estão mudando no ano de 2008. Pra isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada, que nos dá a taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de correspondente ao ano de 2008. Como é 2006, então:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
A regra do quociente diz que:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 4

Agora, vamos substituir na derivada para encontrar a taxa de variação em 2008:

Resposta

As vendas estão aumentando a uma taxa aproximada de milhares de reais por ano em 2008.

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