Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: 3 x^2-2 y^2+3 z^2+24 x+4 y-6 z+43=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma superfície no espaço tridimensional:
3x^2 - 2y^2 + 3z^2 + 24x + 4y - 6z + 43 = 0
O que precisamos fazer aqui é identificar qual tipo de superfície essa equação representa e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente a técnica de completar o quadrado para cada variável. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes e deixando espaço para completar o quadrado:
3x^2 + 24x - 2y^2 + 4y + 3z^2 - 6z + 43 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis: 3x^2 + 24x = 3(x^2 + 8x), -2y^2 + 4y = -2(y^2 - 2y) e 3z^2 - 6z = 3(z^2 - 2z). Antes disso, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
Para x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16:
3[(x + 4)^2 - 16] = 3(x + 4)^2 - 48
Multiplicando pelo 3:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Para -2[(y - 1)^2 - 1] = -2(y - 1)^2 + 2:
z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1
Multiplicando pelo -2:
3[(z - 1)^2 - 1] = 3(z - 1)^2 - 3
Para :
Multiplicando pelo 3:

Passo 5

Substituindo esses resultados de volta na equação original:
3(x + 4)^2 - 48 - 2(y - 1)^2 + 2 + 3(z - 1)^2 - 3 + 43 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
-48 + 2 - 3 + 43 = -6
Então, a equação fica:
3(x + 4)^2 - 2(y - 1)^2 + 3(z - 1)^2 - 6 = 0

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
3(x + 4)^2 - 2(y - 1)^2 + 3(z - 1)^2 = 6
Para deixar na forma canônica, dividimos todos os termos por 6:
(x + 4)^22 - (y - 1)^23 + (z - 1)^22 = 1

Resposta

A equação da superfície na forma canônica é:
(x + 4)^22 - (y - 1)^23 + (z - 1)^22 = 1
Isso representa um hiperboloide de duas folhas.

Exercícios relacionados