Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma superfície no espaço tridimensional:
O que precisamos fazer aqui é identificar qual tipo de superfície essa equação representa e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente a técnica de completar o quadrado para cada variável. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes e deixando espaço para completar o quadrado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis: , e . Antes disso, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
Para :
Multiplicando pelo 3:
Para :
Multiplicando pelo -2:
Para :
Multiplicando pelo 3:

Passo 5

Substituindo esses resultados de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
Para deixar na forma canônica, dividimos todos os termos por 6:

Resposta

A equação da superfície na forma canônica é:
Isso representa um hiperboloide de duas folhas.

Exercícios relacionados

Ao girarmos a curva em torno do eixo obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
c)
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
a)
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: