Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma superfície no espaço tridimensional:
O que precisamos fazer aqui é identificar qual tipo de superfície essa equação representa e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente a técnica de completar o quadrado para cada variável. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes e deixando espaço para completar o quadrado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis:
,
e
. Antes disso, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
Para
:
Multiplicando pelo 3:
Para
:
Multiplicando pelo -2:
Para
:
Multiplicando pelo 3:
Passo 5
Substituindo esses resultados de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isolando os termos quadráticos:
Para deixar na forma canônica, dividimos todos os termos por 6:
Resposta
A equação da superfície na forma canônica é:
Isso representa um hiperboloide de duas folhas.
Exercícios relacionados
Ao girarmos a curva
em torno do eixo
obtemos uma quádrica de nome:
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
(a) hiperbolóide de 1 folha.
(b) parabolóide hiperbólico.
© hiperbolóide de 2 folhas.
(d) elipsóide.
(e) parabolóide elíptico. Justifique.
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
c)
c)
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
a)
a)
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: