Given a vector function , evaluate the scalar line integral from to
a) along the parabola ,
b) along the straight line joining the two points.
Is this a conservative field?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral de linha escalar da função vetorial entre os pontos e . Além disso, precisamos verificar se é um campo conservativo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas, cálculo de integrais de linha e verificação da conservação de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha escalar. Ela representa o somatório das contribuições da função vetorial ao longo de uma trajetória específica entre dois pontos. Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva que conecta e .
Passo 3
a) Ao longo da parábola :
Vamos parametrizar a curva usando como parâmetro. Como e (constante), temos:
onde varia de 1 a 2, pois em , e em , .
Passo 4
Agora, vamos calcular o diferencial :
Passo 5
A função vetorial ao longo da curva parametrizada é:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a de 1 a 2:
Passo 8
Resposta a)
A integral de linha ao longo da parábola é igual a 14.
Passo 9
b) Ao longo da reta que une e :
Vamos parametrizar a reta usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Passo 10
Calculamos o diferencial :
Passo 11
A função vetorial ao longo da reta parametrizada é:
Passo 12
Calculamos o produto escalar :
Passo 13
Integramos em relação a de 0 a 1:
Passo 14
Resposta b)
A integral de linha ao longo da reta que une e é igual a 14.
Passo 15
Verificação se é um campo conservativo:
Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma condição necessária para que seja conservativo em um domínio simplesmente conexo é que seu rotacional seja zero, ou seja, .
Vamos calcular o rotacional de :
Como o rotacional de é zero, concluímos que é um campo conservativo.