Given a vector function E=ax y+ay x, evaluate the scalar line integral integral E cdot d ell from P1(2,1,-1) to P2(8,2,-1)
a) along the parabola x=2 y^2,
b) along the straight line joining the two points.
Is this E a conservative field?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral de linha escalar da função vetorial entre os pontos e . Além disso, precisamos verificar se é um campo conservativo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas, cálculo de integrais de linha e verificação da conservação de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha escalar. Ela representa o somatório das contribuições da função vetorial ao longo de uma trajetória específica entre dois pontos. Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva que conecta e .

Passo 3

a) Ao longo da parábola r(y) = lang<= 2y^2, y, -1 rang<= :
Vamos parametrizar a curva usando como parâmetro. Como e (constante), temos:
onde varia de 1 a 2, pois em , e em , .

Passo 4

Agora, vamos calcular o diferencial dr = drdy dy = lang<= 4y, 1, 0 rang<= dy :

Passo 5

A função vetorial E(r(y)) = ax y + ay x = lang<= y, 2y^2, 0 rang<= ao longo da curva parametrizada é:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar E cdot dr = lang<= y, 2y^2, 0 rang<= cdot lang<= 4y, 1, 0 rang<= = y cdot 4y + 2y^2 cdot 1 + 0 = 4y^2 + 2y^2 = 6y^2 :

Passo 7

Finalmente, integramos integral1^2 6y^2 dy = 6 [ y^33 ]1^2 = 6 ( 83 - 13 ) = 6 cdot 73 = 14 em relação a de 1 a 2:

Passo 8

Resposta a)
A integral de linha ao longo da parábola é igual a 14.

Passo 9

b) Ao longo da reta que une r(t) = P1 + t(P2 - P1) = lang<= 2 + 6t, 1 + t, -1 rang<= e :
Vamos parametrizar a reta usando um parâmetro que varia de 0 a 1:

Passo 10

Calculamos o diferencial dr = drdt dt = lang<= 6, 1, 0 rang<= dt :

Passo 11

A função vetorial E(r(t)) = lang<= y, x, 0 rang<= = lang<= 1 + t, 2 + 6t, 0 rang<= ao longo da reta parametrizada é:

Passo 12

Calculamos o produto escalar E cdot dr = lang<= 1 + t, 2 + 6t, 0 rang<= cdot lang<= 6, 1, 0 rang<= = (1 + t) cdot 6 + (2 + 6t) cdot 1 + 0 = 6 + 6t + 2 + 6t = 8 + 12t :

Passo 13

Integramos integral0^1 (8 + 12t) dt = [ 8t + 6t^2 ]0^1 = (8 cdot 1 + 6 cdot 1) - (0 + 0) = 14 em relação a de 0 a 1:

Passo 14

Resposta b)
A integral de linha ao longo da reta que une e é igual a 14.

Passo 15

Verificação se E = lang<= y, x, 0 rang<= é um campo conservativo:
Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial nabla times E = ax & ay & az partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & x & 0 = ( 0 - 0 ) ax - ( 0 - 0 ) ay + ( 1 - 1 ) az = lang<= 0, 0, 0 rang<= tal que . Uma condição necessária para que seja conservativo em um domínio simplesmente conexo é que seu rotacional seja zero, ou seja, .
Vamos calcular o rotacional de :
Como o rotacional de é zero, concluímos que é um campo conservativo.

Resposta

a)
b)
Sim, é um campo conservativo.

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