Given vectors
determine
, and
such that the vectors are mutually orthogonal.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de vetores onde a gente precisa encontrar os valores de
,
e
para que os vetores
,
e
sejam mutuamente ortogonais. Isso significa que a gente vai usar o conceito de produtos escalares e a propriedade de ortogonalidade de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, para que
,
e
sejam mutuamente ortogonais, temos que:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos isolar
:
Agora, substituímos
da Equação 1a na Equação 3:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo por 6:
Agora, substituímos
da Equação 4 na Equação 2:
Expandindo:
Somando os termos:
Isolando
:
Agora, usando
para encontrar
na Equação 4:
E finalmente, usando
para encontrar
na Equação 1a:
Resposta
Os valores que satisfazem a condição de ortogonalidade mútua são: