Given vectors
& A=alpha ax+ay+4 az & B=3 ax+beta ay-6 az & C=5 ax-2 ay+gamma az
determine alpha, beta, and gamma such that the vectors are mutually orthogonal.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de vetores onde a gente precisa encontrar os valores de alpha, beta e gamma para que os vetores A, B e C sejam mutuamente ortogonais. Isso significa que a gente vai usar o conceito de produtos escalares e a propriedade de ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, para que A, B e C sejam mutuamente ortogonais, temos que:
A cdot B = 0
A cdot C = 0
B cdot C = 0

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre A e B:
A cdot B = (alpha ax + ay + 4 az) cdot (3 ax + beta ay - 6 az)
Expandindo:
alpha cdot 3 + 1 cdot beta + 4 cdot (-6) = 0
Simplificando:
3alpha + beta - 24 = 0 Rightarrow 3alpha + beta = 24 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre A e C:
A cdot C = (alpha ax + ay + 4 az) cdot (5 ax - 2 ay + gamma az)
Expandindo:
alpha cdot 5 + 1 cdot (-2) + 4 cdot gamma = 0
Simplificando:
5alpha - 2 + 4gamma = 0 Rightarrow 5alpha + 4gamma = 2 (Equação 2) çã

Passo 5

Por último, vamos calcular o produto escalar entre B e C:
B cdot C = (3 ax + beta ay - 6 az) cdot (5 ax - 2 ay + gamma az)
Expandindo:
3 cdot 5 + beta cdot (-2) + (-6) cdot gamma = 0
Simplificando:
15 - 2beta - 6gamma = 0 Rightarrow -2beta - 6gamma = -15 Rightarrow 2beta + 6gamma = 15 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
  1. 3alpha + beta = 24
  2. 5alpha + 4gamma = 2
  3. 2beta + 6gamma = 15
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos isolar beta:
beta = 24 - 3alpha (Equação 1a) çã
Agora, substituímos beta da Equação 1a na Equação 3:
2(24 - 3alpha) + 6gamma = 15
Expandindo:
48 - 6alpha + 6gamma = 15
Simplificando:
-6alpha + 6gamma = -33
Dividindo por 6:
- alpha + gamma = -5.5 Rightarrow gamma = alpha - 5.5 (Equação 4) çã
Agora, substituímos gamma da Equação 4 na Equação 2:
5alpha + 4(alpha - 5.5) = 2
Expandindo:
5alpha + 4alpha - 22 = 2
Somando os termos:
9alpha - 22 = 2
Isolando alpha:
9alpha = 24 Rightarrow alpha = 249 = 83 approx 2.6667
Agora, usando alpha para encontrar gamma na Equação 4:
gamma = 83 - 5.5 = 83 - 112 = 16 - 336 = -176 approx -2.8333
E finalmente, usando alpha para encontrar beta na Equação 1a:
beta = 24 - 3 cdot 83 = 24 - 8 = 16

Resposta

Os valores que satisfazem a condição de ortogonalidade mútua são:
alpha = 83, beta = 16, gamma = -176

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